江戸川学園取手高等学校 入試対策
2021年度「江戸川学園取手高等学校の数学」
攻略のための学習方法
普段の学習とし心掛けてほしいのは「数量編」と「図形編」を万遍なく学習するということである。演習する問題のレベルとしては、標準問題以上であること。
その際に、是非実行して欲しいことは「解答時間を決める」ということである。入試も本番では当然ながら解答時間は決まっている。したがって、普段の学習から解答時間を計る習慣をつけるべきである。大事なことは、決して途中で諦めないことである。最後まで、自分の頭で考え自分の答えを出すことである。不正解であった場合に、正解と自分の解答を見比べて、どこが正解と違うのか自分で発見する、そして再度正解へ向け作業を開始する。この作業をどの位繰り返し確実に行えたかが、本当の意味での「数学力」を培うことになるのである。
全ての分野について苦手意識をなくすことである。特に、図形編については何が出題されてもしっかり考え、正解に辿りつくことができるようにして欲しい。ポイントは、定理や原理などについて、根本的な仕組みを知ることである。当然ながら、定理を知らなければ問題は解けないことは論を待たないが、定理を知っているだけで問題は解けるのだろうか。答えは「ノー」である。大事なのは、定理の原理をしっかり学び、理解することである。そして、理解するためには、一度、その定理を自分で証明することである。そのようなプロセスの中で、「数学的物の考え方」、「論理的な思考力」、「合理的根拠の組み立て方」など高度の数学力習得のために必要不可欠な要素を自分のものとすることが可能となるのである。そのような「数学力」に基づき、次に行うべきことは定理の入試問題への「当てはめ」である。図形においては数量編と異なり、与えられた問題の図形において「どの図形に注目するか」という出発点の発想（着眼点）を的確・迅速に思い描けるようになることは、上位校の合格を勝ち取るためには不可欠である。例えば、図形編、特に平面図形において「等積変形」という考え方がある。「底辺と高さが同じ三角形は面積が等しい」という考え方である。この原理を表面上だけでなく根本的に理解を深めることができるかどうかである。この理解を深める作業を具体的に考えると、「複数の三角形の一片を平行な２直線の一方に置き、三角形の３点目をもう一方の直線上に置くことである」という考え方を自分の発想として定着させているかどうかである。そのような発想ができれば、正解への道筋が数十秒で見出せる。他の問題にも、このような手法が応用できるので、是非とも自分の頭で様々な定理の組み立てが出来るように頑張って欲しい。
最後に一言。以上述べたような分野の学習は必須事項であるが、その根底には正確な計算力があることを忘れてはならない。計算のケアレスミスは命取りになることを肝に銘じてもらいたい。
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2021年度「江戸川学園取手高等学校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】独立小問題＜12分＞。文字式の計算、平方根の計算、因数分解、2次方程式、連立方程式の応用、関数（変化の割合）、円錐の側面積、確率（正八面体のさいころ）に関する問題。
【大問２】関数（１次関数・２次関数）に関する問題＜11分＞。2点を通る直線の式を求める問題や格子点（ｘ、ｙ座標が整数である点）の個数を求める問題。
【大問３】平面図形に関する問題＜10分＞。三角形に内接する円に関する問題。
【大問４】空間図形に関する応用問題＜14分＞。正四角錐に関する面積比・体積比を求める問題。
【大問５】場合の数・確率＜13分＞。2人の会話から条件を導き、場合の数や確率を求める問題。
【大問１】小問題集合問
- 時間配分：12分
どれも基本～標準問題である。８割以上の得点は必須。
（１）は文字式の計算問題＜1分＞。分母を15で通分し分子の計算を行う。計算ミスに注意。
（２）は平方根の計算問題＜1分＞。平方根内の平方数を外に出し平方根内の数字を小さくする。
（３）因数分解問題＜2分＞。与式から、ｘ－３ｙ＝Aとおき因数分解し、最終的にAを元に戻す。
（４）2次方程式に関する問題＜1分＞。ｘ－３＝AとおきAについて方程式を解く。そのうえでｘを求める。
（５）連立方程式の応用問題＜2分＞。2桁の自然数に関する方程式の応用問題。一の位の数＝ｘ、十の位の数＝ｙとして、ｘとｙの連立方程式を立式する。
（６）関数に関する問題＜2分＞。変化の割合を求める問題。比例定数に関する定義に従い考える。
（７）円錐の表面積を求める問題＜1分＞。表面積＝底面積＋側面積である。ここで、側面積＝母線×底面半径×πで求められることを覚えておこう。
（８）確率の問題＜2分＞。正八面体のさいころを用いた確率の問題。2回振って出た目の和が12となる確率を求める。
【大問２】1次関数と2次関数に関する融合問題
- 時間配分：11分
標準問題である。一度は演習したことがある問題であろう。格子点（x座標、y座標がともに整数）の扱いに戸惑う受験生もいるかもしれないが定義に従い、座標平面上で具体的に考察するとよい。
（１）比例定数を求める問題＜2分＞。ｙ＝aｘ２上にC(－３、－９)があることからaを求める。
（２）2点を通る直線の式を求める問題＜2分＞。2点A、Bの座標を求め、2点A、Bを通る直線の式を考える。
（３）異なる三角形が等積となるための条件を求める問題＜4分＞。△ABC=△ABDとなる点Cと異なる点Dを求める。AB∥CDとなることを利用（等積変形）して点Dの座標を求める。
（４）格子点の個数を求める問題＜3分＞。格子点とはx座標、y座標とも整数である点のことである。馴染みがない受験生も多いかもしれないし、初めて「格子点」という名称を耳にした受験生もいるかもしれない。平面座標上に指定された直線BCを書込み、指定された領域内においてx座標が整数の場合にy座標が整数となる場合を具体的に考えて格子点の個数を求める。
【大問３】直角三角形と内接円に関する平面図形に関する問題
- 時間配分：10分
（１）角度を求める問題＜1分＞。内心（三角形に内接する円の中心）は三角形の2つの内角の2等分線の交点である。∠CAB＋∠CBA=90°である。
（２）内接円の半径を求める問題＜3分＞。△ABCの面積は直角三角形であるため容易に求められるだろう。また、△ABCの内接円の半径＝rとすると△ABCの面積Sは、S=(AB＋BC＋CA)×r÷2であることを覚えておくこと。
（３）内接円の半径を求める問題＜6分＞。内接円がｎ個ある場合の内接円の半径をｎを用いて表わす問題である。三角形の内部にｎ個の円を内接した場合、△ABCの点A に一番近い内接円の中心は∠CABの2等分線上にあることから合同な三角形を見つけ出す。また、相似の三角形における辺の比を求め、求める半径をrを用いて表わす。
【大問４】空間図形（正四角錐）に関する問題
- 時間配分：14分
（１）面積比を求める問題＜3分＞。△OABにおいて△OPQの面積が△OABの何倍かを求める問題であるが、OP：PA=3：1、OQ：QB=5：4であることより正解を求める。
（２）体積比を求める問題＜5分＞。点Cと点P、点Qをそれぞれ結び、三角錐O－PQCと三角錐O－ABCについて、それぞれ頂点を点Cとする三角錐とみることができる。そのように考えるとこの2つの三角錐は高さが等しくなっている。よって、求める体積比は、△OPQ：△OABとなる。
（３）長さの比を求める問題＜6分＞。OS：OD=ｘ：１とし、複数の三角錐における体積比からOS：SDを求める。
【大問５】場合の数・確率に関する問題
- 時間配分：13分
2人の会話を通じて場合の数や確率を求める問題であるが、登場人物の会話内容をしっかり理解し、通常の場合の数や確率の問題へあてはめる。
（１）場合の数を求める問題＜3分＞。4人に対するプレゼントの行き先の場合の数である24通りに、成功する確率を乗じると成功する場合の数が求められる。
（２）場合の数を求める問題＜6分＞。ｎ人でプレゼントを交換した場合における成功する場合の数についてのW(ｎ)を求める問題であるが、規則性を見出せば意外と短時間で正解を求めることができるであろう。
（３）変化する確率を求める問題＜4分＞。設問の表をよく見てみると、人数（ｎ）が多くなればなるほど「自分のプレゼントが自分にきてしまうことが誰にも起きない確率」は、0.3678…という同じ数値に近づくのである。
攻略のポイント
問題レベルは、基本・標準問題で構成されている。難問は出題されないと考えてよい。まずは、苦手・不得意分野をなくすことである。計算でケアレスミスをなくすためにも、毎日、計算問題を行なうことが重要である。具体的な分野を考えてみる。第１に、関数である。２次関数（放物線）と１次関数（直線）との融合問題は最重要分野としてチェックして欲しい。第２に、図形である。当然、平面図形と立体図形を含んだ問題であり、三平方の定理、相似比と面積比及び体積比、切り口、回転立体などはしっかり押さえておきたい。第３には、今後出題が予想される分野として、確率、規則性に関する問題は注意を払ってもらいたい。特に、確率については、出題形式が多種多様であるので十分な準備が必要であろう。