早稲田大学本庄高等学院 入試対策
2022年度「早稲田大学本庄高等学院の数学」
攻略のための学習方法
出題された問題を概観すると、難問の類はない。しかしながら、かなりの割合で複数分野の融合問題が目立つ。例えば、関数の問題に平面図形の原理を当てはめて解かせたり、場合の数の問題に方程式の概念を基本にしたりするような問題である。そのような問題に対する対策として、何を行えばよいのだろうか。結論から言えば、中学数学の重要分野（式の計算、２次方程式（解の公式）、平方根、関数（１次・２次関数）、確率、平面図形（三平方の定理、相似・合同）、空間図形）についての徹底した学習を通した知識の習得と、各分野における原理・定理のさらなる深い理解と応用力である。そのような分野横断的な学習と解法の習得が、難易度の高い高校の数学における合格点を獲得するには不可欠な要素である。そのような前提に立って、受験数学の学習上で特に留意する学習事項について以下に見ていこう。
-
①公式は何のために存在するのか
公式はとても便利で、問題を解く上で非常に有効であることは論を待たない。しかしながら、公式は問題を自分の頭で考え、正解へ向かう自分の思考を正確に導く最良な道具であろうが、一度立ち止まって考えて欲しい。どのようにして、「公式」は導かれてきたのであるかを。この公式を導く「プロセス」そのものが、受験生自身の「数学的思考力」を向上させるうえで必要不可欠なものであり、数学の問題を俯瞰的に見渡すことができる条件になるのである。したがって、公式を何も考えずに「機械的」に使用するのではなく、初めて学習する公式に関しては一度自力で「なんでこのような公式の形になるのか」ということを解明することを勧める。その際には、言うまでもないが、実際に鉛筆をもって紙に自分の考えを書くという作業を怠ってはならない。
-
②設問の本質的な部分に関するイメージを培おう
図形、特に空間図形に関する問題において必要なことは、与えられた問題の内容を如何に手際よく的確に「イメージ化できるか否か」である。図形の問題は、手を動かさないでジッと図形（空間図形）を見つめていても、解法への適正な解法は浮かんでこないのである。そこに「イメージ化」する必要性があり、その根底には「イメージ力」があるのである。それでは、イメージ力とは何か。一言でいうならば「豊かな発想力」である。このような「発想力」を豊かにするために、受験生にとって行わなければならない必須事項は、様々な問題を「自分の頭で最後まで考え抜く」ことである。そのような過程の中で、受験生は色々と頭の中で蓄えている「原理・定理」を持ち出し、あてはめようとするのであり、そのような「あてはめ作業」が豊かな発想を生み出す土壌になるのである。大切なことは、安易に解答・解説に頼らず自力で自分の解答（不正解でも構わない）を導き出すことなのである。
志望校への最短距離を
プロ家庭教師相談
2022年度「早稲田大学本庄高等学院の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】独立小問問題＜9分＞。因数分解、平面図形(辺の長さ)、関数(座標)から出題されている。
【大問２】関数（1次関数と2次関数）に関する問題＜12分＞。座標平面における平面図形の原理(三平方の定理・扇形の面積の求め方・3辺比が1：2：√3 の直角三角形)をあてはめて解く問題である。
【大問３】空間図形(直方体)＜14分＞。空間図形の問題ではあるが、本問の立体図形の中に平面で切った面を考え、三平方の定理などの平面図形の原理を適切にあてはめられるかがポイントである。
【大問４】確率(データ活用)に関する問題＜15分＞。1つのさいころを3回投げて出た目を順にａ、ｂ、ｃとしたときに、与えられた条件に一致するときの確率を求める問題である。
【大問１】独立小問問題
- 時間配分：9分
問１．因数分解に関する問題＜1分＞。
与式＝ｘ２ｙ＋ｘｙ2−ｙ２ｚ−ｙｚ２と展開し、ｙでくくって因数分解を行う。
問２．平面図形(辺の長さ)に関する問題＜4分＞。
∠ＡＤＣ＝∠ＢＡＣ＝90°、∠ＤＣＡ＝∠ＡＣＢ(共通)より△ＤＡＣ∽△ＡＢＣとなる。このことよりＤＡ＝12/5 が求められる。同様に、△ＥＤＡ∽△ＤＡＣとなり、ＥＤ：ＤＡ＝ＤＡ：ＡＣ＝4：5となる。したがって、ＥＤ＝ 4/5×12/5 ＝48/25 となる。さらに、△FED∽△EDAであることより、ＥＦの長さが求められる。
問３．関数(座標)に関する問題＜4分＞。
△ＡＢＣが正三角になることより、ＡＢの中点をＭとするとＭ(1, 2)となる。ここで、ＣＭとｘ軸との交点をＮ、Ｍからｘ軸に垂線ＭＭ’を引くと△ＮＭ’Ｍ∽△ＭＭ’ＢであることよりＮＭ’：MM’=ＭＭ’：ＢＭ’=2：1となるので、ＭＮの傾きが求められる。さらに、Ｃよりx軸に垂線ＣＣ’を引くと△ＣＢＣ’や△ＡＯＢに三平方の定理をあてはめることにより最終的にはa、ｂに関する連立方程式を解く。ただし、a>0であることを失念しないようにすること。
【大問２】関数(1次関数と2次関数)に関する問題
- 時間配分：12分
問１．座標を求める問題＜3分＞。
Ｂはy＝x2上にある点であるのでB(t, t2)とおける。さらに、Ｂよりｘ軸に垂線ＢＦを引くと△ＯＢＦにおいて三平方の定理をあてはめて、ＯＦ2＋ＢＦ2＝ＯＢ2が成立する。ＯＢは円Ｃ2の半径であるので2√3 である。三平方の定理の式よりｔの値が求められる。
問２．扇形ＯＥＢの面積を求める問題＜4分＞。
前問よりＢ(√3 , 3)と求められたので△ＢＯＦの3辺比は１：２：√3 となる。Ａよりｘ軸に垂線ＡＧを引くと△ＯＡＧは直角二等辺三角形になることを確認し∠ＡＯＧ＝45°になることより、∠ＢＯＦ＝60°であるので面積を求めたい扇形の中心角である∠ＢＯＥ＝60°−45°＝15°になる。よって、扇形ＢＯＦの面積は半径＝2√3、中心角＝15°の面積である。
問３．辺の長さを求める問題＜5分＞。
△ＯＢＤは正三角形になる。Ｉは△ＯＢＤの内心であるのでＩはＢＦ上に存在する。求めたい距離ｄの最小値は、ＯＩとＣ１との交点(Ｐとする)とＩまでの距離である。△ＯＩＦの3辺比は１：２：√3 となることより、ＯＦ＝ 1/2ＯＤ＝√3 となるので、ＯＩ＝ 2/√3ＯＦ＝２である。よって、距離dの最小値は、ＯＩ−ＯＰで求められる。
【大問３】関数に関する問題（新傾向）
- 時間配分：14分
問１．長さを求める問題＜3分＞。
与えられた立体が直方体であることより、ＡＩ∥ＪＧ、ＡＪ∥ＩＧとなりＡＩＧＪは平行四辺形となる。よって、ＡＩ＝ＧＪとなり、さらにＡＢ＝ＧＨ、また∠ＡＢＩ＝90°となるので△ＡＢＩ≡△ＧＨＪとなる。
問２．面積を求める問題＜5分＞。
ＢＩ＝3のとき、ＡＢ＝ＢＩとなり△ＡＢＩは直角二等辺三角形となる。よって、ＡＩ＝ √2ＡＢ＝3√2 となり△ＡＤＪに三平方の定理をあてはめることができる。また、△ＤＡＢ≡△ＡＤＪ(ＢＩ＝3よりＤＪ＝6−3＝３)であるのでＤＢ＝ＡＪ＝3√5 、よってＩＪ＝ＤＢ＝3√5 となり△ＡＩＪはAＪ＝ＩＪの二等辺三角形となる。さらに、ＪからＡＩに垂線ＪＰを引くと△ＡＰＪに三平方の定理をあてはめＪＰの長さが求められ、ＡＩＧＪ＝ＡＩ×ＪＰによって求める面積が導き出される。
問３．体積を求める問題＜6分＞。
直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨの体積は平面ＡＩＧＪによって体積が2等分される。ここで、ＥＦＧＨにＫ、Ｌを通る垂直な平面とＧＩ、ＧＪとの交点をそれぞれＭ、Ｎとすると、求める立体の体積はＡＩＧＪＥＦＨの立体の体積から四角錐Ｇ－ＭＫＬＮの体積を除いたものになる。
【大問４】さいころを用いた確率(データ活用)に関する問題
- 時間配分：15分
1辺の長さがaである正三角形と正六角形からなる立体(八面体)の関し、体積や内接・外接する球の半径を求める問題である。
問１．確率を求める問題＜3分＞。
1つのさいころを3回投げて出た目を順にａ、ｂ、ｃとするので、条件よりＸの値は2回までのさいころの出た目で決まる。このことを手掛かりに確率を求める。勿論、2回までのさいころの目の出方は6×6＝36通りである。
問２．確率を求める問題＜6分＞。
前問同様、さいころを2回投げたときで考えることがポイントである。√x が有理数になる場合の数は、ｂ＝1、2、3、4、5、6のそれぞれの場合におけるaの値を求める。また、ａ、ｂの組は全部で36通りある。
問３．確率を求める問題＜6分＞。
1つのさいころを3回投げると芽の出方は全部で6×6×6＝216通りとなる。ｂ＝1、2、3、4、5、6のときのＸの値は、c=1、2、3、4、5、6のときのYの値と同じであるので、ｂ＝ｃのときＸ＝Ｙである。このことと与えられた条件より場合分けを的確に行い求める確率を出す。
攻略のポイント
分野的には、因数分解、関数（1次関数と2次関数）、平面図形、空間図形(面積、体積)、確率が出題されている。入試問題を見た受験生は気が付いているだろうが、単純な一分野からの出題ではない問題が散見されるであろう。いわゆる複数の分野の考え方を使って解く問題である。関数における座標平面における点の移動(さいころを投げて出た目で移動条件が指定されている)に関連して特定の場合になる確率を求める問題などである。そのような問題は、受験生の真の「数学的発想力」を確認することが主目的であるため、今後、出題頻度は高まることが十分予想される。したがって、合格点を得るためには、単純な一分野のみの学習ではなく、他の分野との融合問題、つまり一つの問題を解く場合に複数の解法をしっかり習得しておくことが必須項目である。