早稲田大学高等学院 入試対策
2024年度「早稲田大学高等学院の数学」
攻略のための学習方法
難関校攻略のための最重要事項は、問題演習において「最後まで自分の頭で考える」という姿勢である。自分の頭で考えるということは、安易に解答・解説に頼らないということでもある。問題を見て考えて解法への道筋が見えてこないと、すぐに解答・解説を読んでしまうことはないであろうか。この文章を読んでいる受験生の中にも、そのような経験をしたことがあるのではないだろうか。
最後まで自分の頭で考え、たとえ正しくなくとも（ある時期まではその方がむしろ好ましいが）自分なりの答えを導くことである。そのようなプロセスを経て得られるものは、最後まで粘り強く問題を解きぬく「持続力」であり、正解を導く上での「的確な発想力」である。頑張っているのだが、なかなか難関校の数学の入試問題に全く手が出ない、という悩みを耳にする場合が多い。そのような受験生に多く見られる傾向としては、上記に述べたような安易に解答に依存してしまって、すぐに模範解答を見てしまうということである。さらに、模範解答を目で見て頭で納得して、決して鉛筆をもって紙に解法を書こうとしない。そのような学習姿勢を繰り返していても、難関校の数学対策には有効ではない。
それでは、以下に難関校の入試数学の受験勉強における重要項目について考えてみよう。
①数学には「定石」がある
定石とは問題の解答を得るために必ず辿るべき「プロセス」である。つまり、そのプロセスさえ過たず正確に辿れば、必ず正解に辿り着けるということである。それでは、どのようにしたら正解を得るための「定石」を習得することができるのであろうか。
ポイントは２つある。１つは、標準問題を何度も反復して演習をすることである。そして、回数を重ねるごとに、解答時間を縮めて瞬発的に問題を解く鍛錬を積むことである。
その結果、初見の問題を見た瞬間に「解法のプロセス」が見えてくるのであり、どの方向へ第一歩を踏み出せば良いのかについて正確な判断ができるようになるのである。
この「定石」を習得するための作業が、上位校の数学の入試問題を解く上では基礎力となる。その上に高度な問題演習における「正しい見通し」を立てられる「力」が付くのである。
②導き出すべき「答え」から逆算する
設問で求められる状況があった場合、その状況が言える（成立する）ためには「何が言えなければならないのか」ということを考えるのである。
例えば、四角形が円に内接していることを証明したい場合には、それを証明するために何を言えばよいのかを考えることである。そして、そのためには与えられた諸条件より何が言えるのかを考えるのである。
つまり、与えられた四角形の∠ＡＢＣ＝９０°であった場合、辺ＡＣは四角形が内接する円の直径になっているということに気づき、発想を膨らませることができるか否かが勝負を分ける。
つまり、ゴールから逆算してゆくとそれはスタートに辿り着けるのである。そのような手法をぜひ身に付けて欲しい。
志望校への最短距離を
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2024年度「早稲田大学高等学院の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】独立小問問題＜9分＞。
場合の数、平面図形、数の性質に関する問題である。
【大問２】空間図形（立方体）に関する問題＜10分＞。
三平方の定理、相似など平面図形で使用する基本原理をあてはめる問題である。
【大問３】関数（1次関数と2次関数）に関する問題＜14分＞。
傾き、y軸切片、ｘ座標、座標平面上にできる図形の面積に関する問題である。
【大問４】データ活用(確率)＜17分＞。
立方体の辺上を移動する点Ａ・Ｂが指定された条件になる場合の確率を求める問題である。
【大問１】独立小問問題
- 時間配分：9分
（１）さいころを用いた場合の数に関する問題＜3分＞。
① 3の倍数は各位の数字の和が3の倍数であることと、ｍとｎは共に1以上6以下の整数であることを利用する。
②素数となる場合を具体的に書き出す。
（２）平面図形(円)に関する問題＜2分＞。
円周角の定理より∠ＡＢＰ＝∠ＤＣＰなので△ＡＢＰ∽△ＤＣＰである。ｘについての2次方程式を立式する。ｘは正であることを忘れずに。
（３）数の性質＜4分＞。
ａ＜ｂ＜ｃでかつａ、ｂ、ｃはともに自然数であるので、√a<√b<√cとなりこれらの辺をもつ直角三角形の斜辺は√cとなる。三平方の定理を用いて考えを進める。
【大問２】空間図形（立方体）に関する問題
- 時間配分：10分
（１）長さを求める問題＜2分＞。
最短距離の問題は展開図を考えて2点を直線で結んだ距離になり、三平方の定理より最短距離を求めるのが定石である。
（２）長さ・面積を求める問題＜4分＞。
①（１）で求めた最短距離をなす線分とＢＦ、ＣＧの交点をそれぞれＰ、Ｑとすると△ＡＢＰ∽△ＡＤＨである。
②ＡＰＱＣはひし形である。また、△ＡＢＰ∽△ＡＤＨ、△ＡＣＱ∽△ＡＤＨである。また、△ＡＢＤは直角二等辺三角形であることより、ＢＤ＝9√2でありＰＳ＝9√2となる。△ＡＣＱにおいて三平方の定理を用いる。
（３）体積を求める問題＜4分＞。
ＡＥＨＤ∥ＢＦＧＣであるので、ＢＦＧＣの切り口はＡＨと平行になる。ＢＧとＰＱの交点をＯとすると△ＢＰＯ≡△ＧＱＯとなる。与えられた立方体に補助線を引き、どのようにすれば求められた立体の体積となるかをイメージする。
【大問３】関数(1次関数と2次関数)に関する問題
- 時間配分：14分
（１）傾き・切片を求める問題＜3分＞。
y＝ax2上にＢ、Ｃが存在しそのｘ座標がそれぞれ－1、３であることより傾きと切片が求められる。
（２）ｘ座標を求める問題＜3分＞。
ＡＤ∥ＢＣであるので、ＢＣの傾き＝ＡＤの傾き＝2aとなる。Ｄのｘ座標は、y＝ax2とｙ＝2ax+8aの交点であるのでxの2次方程式を解く。
（３）面積を求める問題＜4分＞。
Ｂ、Ｃからｙ軸に平行な直線とＡＤとの交点をそれぞれＥ、Ｆとすると、ＥＢＣＦは平行四辺形となる。さらに、ＡＢＣＤ＝△ＡＢＥ+平行四角形ＥＢＣＦ+△ＤＣＦとなる。
（４）傾きを求める問題＜4分＞。
題意の直線とＡＤの交点をＩとすると、ＡＢＧＩ＝ＣＤＩＧとなる。△ＡＢＥ＝△DCFであるのでＧＩはＥＢＣＦの面積を2等分する。また、ＥＣとＢＦの交点をＭとすると、ＥＢＣＦの面積を2等分する直線はＭを通る。ＧＩはＧ、Ｍを通ることより求められている傾きが得られる。
【大問４】データ活用(確率)に関する問題
- 時間配分：17分
一辺の長さが1の立方体の辺上を以下のルールに従って点A、Bが移動する。
【ルール】
どの頂点から出発しても、1秒後には出発した頂点との距離が１である別の点に、確率
で移動する。
（１）確率を求める問題＜3分＞。
ＡＢの長さが√2となるのは、一辺が1の長さの立方体においては立方体の面の対角線となる。
（２）確率を求める問題＜4分＞。
Ａ、Ｂから1秒後の移動はそれぞれ3通りであるから、全部で9通りである。そのうちＡＢ＝√2となる場合を考える。
（３）確率を求める問題＜4分＞。
Ａ、ＢがＰより出発し2秒後に移動する頂点を考える際に、1秒後の点も動きに注意しよう。また、ＡＢ＝√3になる可能性について吟味する。
（４） 確率を求める問題＜6分＞。
Ａ、ＢがＰより出発し3秒後に移動する場合の数は、それぞれ１秒ごとに3通りあるので全部で3×3×3＝27通りあるので全部で27×27＝729通りである。出発してから3秒後はＡ、Ｂが同じ頂点にあるか、又はＡＢ＝√2となる場合である。よって、ＡＢ＝√2となる場合を考えよう。
攻略のポイント
押さえておきたい分野は、計算（方程式、式の値、整数の性質）、関数（１次関数・２次関数）、平面図形と立体図形、場合の数、新傾向(規則性)の分野である。
ただし、合格点を取るためには、これらの分野の単純な演習スキルだけでは歯が立たないであろう。そのようなスキル演習が必要であり、問題解法の基礎になることは言うまでもない。
大切なことは、そのスキル演習からさらに一歩踏み込み、数学的な原理的理解（公式的発想）の質を深めることである。
つまり、自分で公式の原理を理解し、公式が出てくるまでの解法のプロセスをしっかり把握した上で、自身で公式を導き出せるようにすることがベストである。
小手先のスキル演習力の向上だけに目標を置くのではなく、問題の本質的な理解をベースに論理的に思考できる数学力をつけることが必要である。