早稲田大学本庄高等学院 入試対策
2024年度「早稲田大学本庄高等学院の数学」
攻略のための学習方法
出題された問題を概観すると、難問の類はない。しかしながら、かなりの割合で複数分野の融合問題が目立つ。例えば、関数の問題に平面図形の原理を当てはめて解かせたり、場合の数の問題に方程式の概念を基本にしたりするような問題である。
そのような問題に対する対策として、何を行えばよいのだろうか。結論から言えば、中学数学の重要分野（式の計算、２次方程式（解の公式）、平方根、関数（１次・２次関数）、確率、平面図形（三平方の定理、相似・合同）、空間図形）についての徹底した学習を通した知識の習得と、各分野における原理・定理のさらなる深い理解と応用力である。そのような分野横断的な学習と解法の習得が、難易度の高い高校の数学における合格点を獲得するには不可欠な要素である。そのような前提に立って、受験数学の学習上で特に留意する学習事項について以下に見ていこう。
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①公式は何のために存在するのか
公式はとても便利で、問題を解く上で非常に有効であることは論を待たない。しかしながら、公式は問題を自分の頭で考え、正解へ向かう自分の思考を正確に導く最良な道具であろうが、一度立ち止まって考えて欲しい。どのようにして、「公式」は導かれてきたのであるかを。この公式を導く「プロセス」そのものが、受験生自身の「数学的思考力」を向上させるうえで必要不可欠なものであり、数学の問題を俯瞰的に見渡すことができる条件になるのである。したがって、公式を何も考えずに「機械的」に使用するのではなく、初めて学習する公式に関しては一度自力で「なんでこのような公式の形になるのか」ということを解明することを勧める。その際には、言うまでもないが、実際に鉛筆をもって紙に自分の考えを書くという作業を怠ってはならない。
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②設問の本質的な部分に関するイメージを培おう
図形、特に空間図形に関する問題において必要なことは、与えられた問題の内容を如何に手際よく的確に「イメージ化できるか否か」である。図形の問題は、手を動かさないでジッと図形（空間図形）を見つめていても、解法への適正な解法は浮かんでこないのである。そこに「イメージ化」する必要性があり、その根底には「イメージ力」があるのである。それでは、イメージ力とは何か。一言でいうならば「豊かな発想力」である。このような「発想力」を豊かにするために、受験生にとって行わなければならない必須事項は、様々な問題を「自分の頭で最後まで考え抜く」ことである。そのような過程の中で、受験生は色々と頭の中で蓄えている「原理・定理」を持ち出し、あてはめようとするのであり、そのような「あてはめ作業」が豊かな発想を生み出す土壌になるのである。大切なことは、安易に解答・解説に頼らず自力で自分の解答（不正解でも構わない）を導き出すことなのである。
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2024年度「早稲田大学本庄高等学院の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】独立小問問題＜10分＞。
2次方程式、式の計算、データ活用、平面図形(角度)からの出題である。
【大問２】関数(1次・2次関数融合)問題＜9分＞。
直線の式を求める問題や1次関数と2次関数の融合問題に関する問題である。特に、直線と放物線の交点の意味を2次方程式の解として考える。
【大問３】場合の数問題＜13分＞。
データの活用と場合の数を融合させた問題であり、問題へのアプローチにおける柔軟な発想が求められる。
【大問４】空間図形(三角錐)問題＜18分＞。
三角錐に関する問題であるが、立体における体積などを求める考え方に慣れておくように。
【大問１】独立小問問題
- 時間配分：10分
問１．2次方程式に関する問題＜2分＞。
√が入った与式を√5と√3を共通因数としてそれぞれ因数分解を正確に行うこと。ケアレスミスには十分気をつけること。
問２．式の計算に関する問題＜3分＞。
与式の中で3つある( )をそれぞれ文字に置き換え、与式を簡素化して考えを組み立てる。
問３．データ活用に関する問題＜2分＞。
中央値、平均値の考え方をしっかり理解すること。5個のデータを抜き出して中央値が7ということは、小さい順に並べた場合小さい方から3番目が7である。
問４．平面図形(角度)に関する問題＜３分＞。
△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形であること、円周角の考え方より問題に取り組む。
【大問２】関数(1次関数・2次関数融合問題)に関する問題
- 時間配分：9分
与えられた条件は以下の通り。
点(1，9)を通り、ｙ軸と平行でなく、放物線ｙ＝ｘ2とのすべての交点のｘ座標とｙ座標が共に整数である。
問１．直線の式を求める問題＜3分＞。
与えられた条件を満たすのはｘ座標が整数の点である。
問２．直線の式を求める問題＜3分＞。
設問の題意よりｙ軸切片が最大になるとき、直線の傾きは最小になることを手掛かりに取り組むこと。
問３．直線の数を求める問題＜3分＞。
(1，9)を通る直線はｙ軸とは平行ではないのでｙ＝ｘ2と2点で交わることになる。その交点のうち少なくとも1つはｙ座標が9以下となるので考えられるｘ座標が判明する。これらのことより問題の条件と併せて考え方を進めること。
【大問３】データ活用(場合の数)に関する問題
- 時間配分：13分
本問で与えられたルールは以下の通り。
【ルール】
上下に並んだ2つの数は下の数のほうが大きく、左右に並んだ2つの数は右の数のほうが大きくなるように数を入れる。また、異なるマス目には異なる数を入れる。
問１．場合の数を求める問題＜3分＞。
ルールに従うと2は１の右か下に入る。1が右にくる場合と下にくる場合について別々に場合分けして考える。
問２．場合の数を求める問題＜5分＞。
ルールに従うと２、３はそれぞれ上段左から2番目、下段左から1番目に入り、5は上段右から2番目に入る。従って、６、７の位置が確定できる。
問３．場合の数を求める問題＜5分＞。
２、３の入れ方はルールに従うと3通り考えられる。それぞれの3通りについて何通り考えられるかを丁寧に見ていく。
【大問４】空間図形(三角錐)に関する問題
- 時間配分：18分
問１．体積を求める問題＜5分＞。
条件よりＡＤ⊥ＢＣＤである。また、∠ＡＢＤ＝30°であるから△ＡＢＤは3辺比が１：２：√3の直角三角形であることを手掛かりに本問に取り組もう。
問２．面積を求める問題＜6分＞。
前問より△ＡＢＤ、△ＣＡＤは共に3辺比が１：２：√3の直角三角形である。△ＢＣＤにおいて三平方の定理によりＢＣ＝2√3となる。△ＡＢＣのＡよりＢＣに垂線ＡＨを引くと△ＡＢＨ及び△ＡＨＣにおいて三平方の定理をあてはめてＡＨの長さ(△ＡＢＣの高さ)を求めることができる。
問３．辺の長さを求める問題＜7分＞。
∠ＡＥＤ＝45°であるので∠ＡＤＥ＝90°より、△ＡＤＥはどのような三角形になるかを考える。さらに、△ＡＥＨに三平方の定理をあてはめる。
攻略のポイント
分野的には、因数分解、関数（1次関数と2次関数）、平面図形、空間図形(面積、体積)、確率などは事前の準備をしっかり行うことである。
入試問題を見た受験生は気が付いているだろうが、単純な一分野からの出題ではない問題が散見される。いわゆる複数の分野の考え方を使って解く問題である。関数における座標平面における点の移動(さいころを投げて出た目で移動条件が指定されている)に関連して特定の場合になる確率を求める問題などである。そのような問題は、受験生の真の「数学的発想力」を確認することが主目的であるため、今後、出題頻度は高まることが十分予想される。
したがって、合格点を得るためには、単純な一分野のみの学習ではなく、他の分野との融合問題、つまり一つの問題を解く場合に複数の解法をしっかり習得しておくことが必須項目である。