慶應義塾志木高等学校 入試対策
2024年度「慶應義塾志木高等学校の数学」
攻略のための学習方法
難関校の数学の入試問題において、如何にしたら合格点を取れるのかについて考えてみたいと思います。
そもそも、なぜ「数学」を学習しなければならないのでしょうか。数学が大嫌いで「世の中から数学がなくなればよい」と心底思っている受験生もいるのではないでしょうか。そのような受験生は、方程式の応用問題や、放物線などの関数に関する問題が解けたからといって「自分の生活の一体何が変わるのか」と素朴な疑問を抱いているかもしれません。社会人になって世の中には数学のように、スッキリ答えの求められない問題もあるということを初めて自覚する場合もあるでしょう。むしろ、そのような問題のほうが多いかもしれません。また、答えが複数ある場合もあるでしょう。
そのような状況の中で、改めて考えてみたいと思います。なぜ「数学」を学習しなければならないのでしょうか。それに対する明確な答えは一つではありません。ただ、一つだけ理解しておいてほしいのは、数学の醍醐味は「物事を論理的に考え結論を導くことの楽しさ」であり「論理的な思考の道筋を整えること」であると思います。
そのような数学の醍醐味を習得するために、「何をどのように」行えばよいのでしょうか。具体的は「自分の頭で考え抜く」ということです。数学の問題を解いている過程で、考えに行き詰まるとどうしても「解答・解説」を見てしまいたい誘惑に負けてしまいます。そのような誘惑をグッと堪えて、たとえ正解でなくとも「自分の答え」を導くことである。
その際に、安易に公式等を利用するのではなく（もちろん、数学的思考基盤がしっかりした後は公式も活用し解答時間の短縮を図ることも可）、与えられた条件の中で「何が言えて」「何が言えないのか」を明確にしたうえで、式を考え論理的に思考を巡らして結論に至るという作業が大切である。
そのような作業こそが「公式」を導くプロセスなのであり、そのようなプロセスを習得することで、根本的な「数学的思考力」が身につくのです。そのような「思考力」を体得することで、多少目先を変えられたり解法の切り口に変化が与えられたりしても自在に対応が可能になるのです。
いずれにしても重要なことは、柔軟な発想力と論理的な思考力を培うことです。そのためにも、標準以上の問題に対しじっくり考え、安易に妥協せずに最後まで問題を自分の頭で考えぬくことです。そのような作業の繰り返しの中で、真の数学力が養成され磨き抜かれて行くことを忘れないでもらいたいと思います。
志望校への最短距離を
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2024年度「慶應義塾志木高等学校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
大問１は、小問集合問題＜6分＞。
関数(座標平面上における回転体の体積)、数の性質(整数解)に関する問題である。
大問２は、2次方程式の応用問題(数と式)＜7分＞。
傾斜率等に関する問題である。
大問３は、平面図形(円)に関する証明問題＜5分＞。
円周角、内角、外角などの概念を適用する。
大問４は、データ活用(場合の数)に関する証明問題＜8分＞。
最短距離に関する場合の数に関する問題である。
大問５は、平面図形(三角形)に関する問題＜7分＞。
平面図形における様々な原理を適用する。
大問６は、1次関数と2次関数の融合問題＜12分＞。
ジャンルとしては頻出である。事前に様々な出題パターンを演習しておくこと。
大問７は、空間図形(多面体)に関する問題＜15分＞。
正多面体における平面図形の原理(相似など)を有効にあてはめる。
【大問１】小問集合問題
- 時間配分：6分
（１）＜3分＞平面座標における図形の回転体の体積を求める問題。
条件に合った回転体の外側の最大の円錐から内側にできる2つの円錐の体積をひく。
（２）＜3分＞数の性質に関する問題。
X2+144＝y2を(ｘ+ｙ)(ｘ−ｙ)＝144と変形して考える。ｘ、ｙは共に自然数である。
【大問２】2次方程式の応用(数と式)に関する問題
- 時間配分：7分
「コースタイム」に関する傾斜率などに関する問題である。
（１）＜4分＞a、b、cの値を求める。
傾斜率＝標高差／水平距離で求められる。この数式の意味を正確に理解し、与えられた条件から連立方程式を解く。
（２）＜3分＞sの値を求める問題。
前問より、Ｔ＝(150ｓ2＋50ｓ＋20)×ｄとなる。題意よりＴ＝324、d＝9となることよりｓに関する2次方程式を解の公式を用いて解く。
【大問３】平面図形(円)に関する証明問題
- 時間配分：5分
ＢＱの延長線を考え、円周との交点をＲとする。弧ＡＢに対する円周角や△ＡＱＲにおける内角と外角の関係を用いて証明する。
【大問４】場合の数に関する問題
- 時間配分：8分
2点間を結ぶ最短距離に関する問題である。「最短」とは後戻りしないことである。
(１) 場合の数を求める問題＜4分＞。
上向き矢印と右向き矢印をどのように並べると良いかを考える。
(２) 場合の数を求める問題＜4分＞。
10枚目のカードを並べたときにＢにたどり着いたのであるから、9枚まで並べた時の状況を考える。
【大問５】平面図形(三角形)に関する問題
- 時間配分：7分
(１) 面積を求める問題＜3分＞。
ＤとＣを結ぶと△ＡＤＣと△ＤＢＣは高さの等しい三角形となることより、面積比は底辺比と同じになる。三角形における辺の内分比率から面積比を考える。
(２) 面積を求める問題＜4分＞。
△ＤＥＦの面積を求め、ＦＧ：ＧＤを考える。△ＡＢＣ内部に平行線を引き、平面図形の特性を活用して問題を解く。
【大問６】関数（1次関数と2次関数）に関する問題
- 時間配分：12分
（１）＜3分＞直線の式・座標を求める問題。
直線ℓは、(6，0)、(0，6)を通る直線である。Ｐ、Ｑの座標は、ｙ＝
x2と直線ℓを連立してｘについての方程式を解くことで求められる。
（２）＜4分＞長さを求める問題。
直線ℓ上にＯＣＢＡが長方形になるようにＢ、Ｃを取っている。長方形の対角線は等しいので、ＢＣ＝ＯＡである。Ａからｘ軸に垂線を引き三平方の定理を活用する。
（３）＜5分＞面積を求める問題。
Ｓ１＝△ＯＢＣ×２、Ｓ２＝△ＯＰＱ×２となる。
【大問７】空間図形（多面体）に関する問題
- 時間配分：15分
（１）＜7分＞体積を求める問題。
正八面体は2つの合同な正四角錐を合体した立体である。また、相似な立体を見つけ出し体積比を考える。立体の体積比は相似比の3乗に等しくなる。
（２）＜8分＞体積を求める問題。
本問において[操作１]を行うことによって取り除かれる三角錐の個数は24個であり、その体積は1個あたり
である。
攻略のポイント
全体的には、難問の類の設問はない。一度は演習したことのある問題ばかりである。難関校用の受験数学問題集を丹念に仕上げた受験生にとっては７５％の得点は可能であろう。標準問題であるゆえに、少しのミスも命取りになってしまう。単純な計算ミスや「勘違い」をなくすような日頃の学習態度が重要である。
特に、計算問題（式の値、方程式、平方根）、関数（１次・２次関数）、確率、平面図形（円に関する定理、三平方の定理）、空間図形（平面図形の定理の応用）などの分野は、徹底的に演習しておいてほしい。
また、新傾向として、数の性質と確率の融合問題、統計などは今後も出題される可能性は極めて高いのでしっかり押さえておこう。