開成高等学校 入試対策
2017年度「開成高等学校の数学」
攻略のための学習方法
全体的に全く手が付けられないという問題という訳ではない。
１年間における受験勉強の流れを概観する。
夏までの時期には、標準問題の徹底した演習が不可欠である。夏は、受験生にとって大事な時期であり、翌年の受験の合否を決定すると言っても過言ではない、まさに受験勉強の『天王山』である。この時期（夏）から全国レベルの難関校の数学の入試問題に挑戦して欲しい。夏の時期にしっかりとした基礎力と応用力を身に付けることに専念すること。
そのような『学力』を確実に習得することが、秋以降本番入試までの確かな実戦力を着実にする唯一の方法であることを認識して欲しい。そのためには、何をどうすればよいのかについて、具体的に分野を絞って以下に見てみたいと思う。
（１）数の性質に関する問題には要注意である。
小数点第２位を四捨五入して、というような条件を与えられた場合に、不等式を用いて式を立て、設問が求めている解答を導き出す訳である。
その際にも、闇雲に思考を進めては時間のロスは否めない。適正な方向性をもって論理を組み立てられるかどうかは、どの問題においても必須な要件であり、その部分がぶれていては、自分で『素晴らしいアイデア』だと自画自賛したところで、それは単なる思い付きに過ぎず正解にはたどり着けないだろう。
また、数の性質、特に整数解を求める不定方程式などの問題にも十分慣れておくように。
（２）関数の問題は必ず出題される。
放物線と直線、つまり２次関数と１次関数の融合問題は得意分野となるまで徹底的に演習を重ねて欲しい。この分野の問題は、特定の高校という訳ではなく、高校受験の数学においては必須分野である。何故か。それはこの融合問題によって、中学数学のほぼ全分野の知識とその理解とが確認できるからである。２～３点具体例を挙げてみる。
第一に、放物線と直線の交点の座標に関連した問題である。
その交点のｘ座標は、放物線と直線との連立方程式（つまりｘに関する２次方程式の解）となる。その際、単純に解の公式を用いてｘの解除を求めるというのではなく、その後の問題展開を考慮して『解と係数の関係』を用いた方が、端的にかつ確実に正解を求められる場合がある。
第二に、放物線と直線との２交点を用いて特定の図形（三角形の場合が多いが）と面積が同じになる、又は２倍、３倍となる場合における２交点以外の放物線上の第３点目の座標を求める問題も要注意である。
様々な解法はあるが、基本的には『等積変形』の考え方を如何に効率よく設問に当てはめていくか、ここがポイントである。
また、上記２交点と特定の条件を付与された動点Ｐによって出来上がる図形におけるｘとｙの関係を基まさせる問題、いわゆる『軌跡』に関しても事前準備はしっかりやっておくこと。
第三に、『格子点（ｘ、ｙ座標の値が整数値）』に関してもその特性を自在に扱えるようにしておかなければならない。
平面座標から格子点の個数を具体的に数えさせたり、文字を使って抽象的に条件を与えられ、格子点の数を所与の文字を使って表現させたりする出題も可能である。
第四に、確率の問題にも拡張できる。
例えば、点Ｐが原点をスタート地点としてサイコロを振り（振るサイコロは１個とは限らず、複数の場合もあり得る）、５回までは偶数目はｘ軸方向へ、奇数目はｙ軸方向へ進み、６回～１０回目までは、偶数目はｘ軸方向と逆へ、奇数目はｙ軸方向と逆へ進みとして、最終的に点Ｐが再び原点に戻ってくる確率を求める問題などにも慣れておく必要がある。
以上、概観したように、放物線と直線との融合問題には数量編は当然のこととして、幾何・確率の分野までも出題可能なのである。ここに、この分野が高校入試において必ず出題される理由がある。
（３）立体図形（空間図形）に関する問題も繰り返し演習を行っておくこと。
立体図形の切り口を扱う問題は得意として欲しい。この問題は基本的には立方体を使う場合が多いが、原則的に同一平面に存在する２点を結ぶ作業を行い、次に対面に対し平行に直線を引くという手順で進めてゆくと手際よく切り口の形が見えてくる。その結果得られた『平面図形』において、三平方の定理・合同・相似・点対称移動などの考えたかを用いて解答する問題形式となる。
また、空間という三次元の世界を紙という二次元の思考の中で考えるために、有効な手段を示して置く。『立体を三方向からイメージする』ということである。三方面とは、『真上・真正面・真横』である。これらの方向からのイメージを頭の中で一つの立体として完成させ、できれば回転させたり斜めにしたりできるような想像力を逞しくする訓練を積んで欲しい。
そのためには、コンピュータ・グラフィックなどを実際に自分の目で見てみることも大事である。
（４）最後に規則性の問題も重要である。
規則性には様々な出題形式があるが、数列の場合を考えてみると、第ｎ項の値をｎを用いて数式化する訓練をしっかりつけること。項数との関係性も重要なファクターである。数列以外にも、規則性の問題は限りなく存在するので様々な問題形式に触れておくように。
総括として一言。参考書や問題集には、特殊な受験テクニカルな公式が掲載されている場合が多いが、大事なことはその公式を丸暗記して目の前の問題の数値を当てはめて答えを出すのではなく、一度自分でその公式がどのようなプロセスで導き出されたのかを検証することである。
公式はあくまで結果であって、大切なことはその結果に至る過程（プロセス）でどのような『考え方』を用いたかであることを忘れないでほしい。
志望校への最短距離を
プロ家庭教師相談
2017年度「開成高等学校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】は独立小問題。（１）３元１次連立方程式＜２分＞、（２）関数（２次関数と１次関数）＜３分＞、（３）場合の数＜４分＞、（４）資料の整理＜５分＞。
【大問２】は平面図形≪円と直線（作図）≫。（１）接線・外接円に関する作図＜６分＞、（２）数値範囲の問題＜６分＞。
【大問３】は球に関する立体図形の問題。（１）相似を用いた求積＜６分＞、（２）は直角三角形を用いた体積を求める問題＜１０分＞。
【大問４】は空間図形に関する問題。（１）三平方の定理を用いた問題＜４分＞。（２）三平方の定理の応用問題＜６分＞。（３）付与された条件に合う答えを導き出す際に使用した関数の考え方もしっかり演習しておくように＜８分＞。
【大問１】独立小問題
- 時間配分：
どれも標準問題であり事前のスキル演習が十分行い、完答を目指してほしい。
（１）３元１次連立方程式の問題である。比例式が与えられているが内項の積と外項の積が等しくなる原理は常識である。＜２分＞
（２）２次関数と１次関数の融合問題である。この種の問題は高校入試では頻出であるので、十分な練習を積んでおくこと。＜３分＞
（３）正八面体を用いた立体を用いた動点の問題。所与の条件を整理し場合の数を求める。＜４分＞
（４）資料の整理に関する問題である。『得点分布の中央値』、『平均値』など用語の意味をしっかり理解しておくことが重要である。＜５分＞
【大問２】平面図形（円）に関する問題（作図）
- 時間配分：
（１）（ａ）円周上の点Ｐにおける接線を作図する問題。＜２分＞点Ｐを通る垂直２等分線を作図する。（ｂ）円Ｏに外接する正三角形を作図する。正三角形の１つの内角が６０度であることをどのようにして作図で描き出すかを考える。＜４分＞
（２）円Ｏの半径をｒとおき、外接する正三角形の一辺と円Ｏの半径は垂直関係にある、という事実から作図上でどのような工夫が必要であるかを考える。＜５分＞
【大問３】立体図形（球）に関する問題
- 時間配分：
与えられたＰ、Ｑ、Ｒ、Ｓの４つの球の中心を結んでできる立体に注目する。この手法は定石である。
（１）相似の考え方を用いた面積の問題。問題の条件等を考慮すると、球と球の接点はその球の中心を結ぶ線分上に存在することが分かる。正解を求めるためには、三角形の相似関係から面積比を導き出さなければならない。どの図形に着目するのかを瞬時に見抜く力が求められる。＜６分＞
（２）求められている八面体AＢＣⅮＥＦの体積は、どの三角錐の体積を取り除いたものであるかを手掛かりとしてアプローチすること。正解を求める過程では、三角形の相似と体積比（相似比の３乗比）の考えを適用すること。ただし、どの三角形に注目するのかを見抜かなければならない。普段の学習から『図形を見抜く力』を養って欲しい。＜１０分＞
【大問４】空間図形に関する問題
- 時間配分：
どの図形に注目するかで難易度は変わってくるであろう。的確に迅速に、解法の見通しを立てなければならない。この段階で手間取ると徒に『解放の迷路』に陥り、出口が見いだせない状態になってしまうだろう。
（１）△ＣＦＨに注目し、三平方の定理を当てはめる。見通しを立てて解かないと時間だけが過ぎてしまう。また、立体という３次元の世界を平面という２次元の世界で考えられるかどうか（紙の上にイメージを描けるかどうか）がポイントである。＜４分＞
（２）辺の長さの２乗であるので三平方の定理を活用する発想が必要であるが、どの図形に当てはめるかを見極められるかどうかが重要である。＜６分＞
（３）どこからどのように（いかなる原理を使うか）アプローチするか、戸惑うかもしれないが、ポイントは与えられた条件と前提からそれをいかに上手く数式化できるかということである。この数式化に成功すれば、変域における２次方程式の解との関係で驚くほど滑らかに正解を求めることができる。＜８分＞
攻略のポイント
標準問題から大問４（３）のような単純に知識を問うような問題ではなく、柔軟な発想とイメージコントロールを要求される設問まで、多種多様な問題設定である。
全く手が付けられないという問題はないであろうが、限られた時間の中で手際よく正解を導くためには、相当な演習量をこなし発想力や着眼点を最高に磨かなければならない。演習問題のレベルは、全国最難関校以上の過去問題である。様々なジャンルの複合問題にも対応できるように、そのような問題演習を万遍なく行っておきたい。
特に、図形問題や整数の性質問題などのような事象の本質的領域に関わるような発想ができるかどうかが正答を導けるか否かのカギである。図形問題では、空間における複眼的な見方の練習をしっかり行うこと。