慶應義塾高等学校 入試対策
2015年度「慶應義塾高等学校の数学」
攻略のための学習方法
基本的原理や定理などをしっかり理解することである。つまり、公式や定理についてもできれば、一通り自分の力で証明しておくことを勧める。
公式や定理はいうまでもなく『一つの考え方の結果』である。したがって、『結果』としての公式や定理を『道具』としてしか使うことができない場合、確かにスピーディーに正解を導くことは可能かもしれないが、それが本当の学力なのかを考えて欲しい。
受験生（特に慶應義塾高校を志望する受験生）には、『公式や定理』を導くプロセスにおける『考え方』を理解し、安易に『公式や定理』を暗記するという学習姿勢に陥らないようにしてもらいたい。とにかく自分の頭で『考えること』、そして『考え抜くこと』である。
さらに、極めて高いかつ正確な計算力が求められていることはすでに述べた。特に、連立方程式、因数分解において、文字の置き換えによる計算式の簡略化を図ることが正解への近道である場合がある。
この解法手法については連立方程式、式の展開、因数分解の問題演習においてしっかり事前準備を行うことである。しかも、入試問題全体を通じ、因数分解や展開の考え方を用いなければ徒に解答時間が長引いてしまう設問が多い。そのためにも、最高レベルの計算問題（式の展開、因数分解、連立方程式、平方根）を日々演習する必要がある。
場合によっては、高校数学Ⅰの問題集に掲載された式の展開および因数分解に関する問題（ただし、式の展開および因数分解の範囲は２次まで）を徹底的に行うことも必要になってくると思われる。
関数については１次関数、２次関数、そしてその融合問題は事前にしっかり練習を行っておくこと。
放物線と直線の交点に関する問題、放物線上の異なる点を結んでできる図形に関する問題など、放物線と直線に関する問題は単に関数の分野に限らず、方程式、相似、回転体（立体）とその表面積・体積を問う求積問題など出題範囲は多岐にわたる。
慶應義塾高校の入試問題は難問というよりも標準問題が多く出題される。しかも、その解法にあたってはオーソドックスな思考で十分正解可能な問題ばかりである。したがって、少しのミスも許されず手際よく解答できなければいけない。
また、論理的思考力を見る問題にも積極的に挑戦して貰いたい。高校数学では論証というジャンルであり、具体的には命題という内容である。一つの文章内容が反例（内容が間違っていることを示す例）もなく正しいかどうかを考える問題である。
受験生の「自分の頭で考え」そして「最後まで考え抜く」姿勢が大事であることは明白である。受験生の側においても根本的な設問の原理や仕組みを掘り下げて考えるという「骨太で逞しい地頭」というものを自分のものにするために、標準以上の問題を自分の頭でとことん考え抜くという練習に全力を注いでもらいたい。
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2015年度「慶應義塾高等学校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
大問１は、小問集合問題＜７分＞。全部で６題である。求められる力は「正確で迅速な計算力」と「正解へたどり着く着眼点」である。
大問２は正誤問題（論証）＜５分＞。与えられた文章の正誤を考える。反対事例（反例）があるかないかを検証する。
大問３は、場合の数＜７分＞。場合分けを手際よく行わなければならない。
大問４は、方程式の応用問題＜９分＞。問題文は長いが必要な情報をいかに抽出するかがポイント。
大問５は、空間図形問題＜５分＞。頻出問題である。立体図形の中に平面図形の定理（三平方の定理など）をうまく当てはめること。
大問６は、関数の問題＜１０分＞。平面図形の面積を関数を用いて表し、問題を解く。関数式さえ思い浮かべば正解への道筋は見えてくる。
大問７は、平面図形（三角形）の問題＜６分＞。相似や三平方の定理を用いて正解を求める。
大問８は、関数に関する問題＜９分＞。合同や等積変形の考え方を当てはめる。
【大問Ⅰ】
- 時間配分：7分
小問集合問題である。
（１）四則演算問題＜１分＞。０．８７５＝７／８と瞬間に見ぬくこと。
（２）連立方程式の問題＜１．５分＞。２つの式を辺々を加えることで、１００ｘ＋１００ｙ＝３という式が導き出される。この式と２つの式の各々より連立方程式を考える。
（３）数の性質問題＜１分＞。四捨五入が条件であるので、前提として数字に幅ができる。この幅を使って最大値と最小値を求める。
（４）文字式の利用の問題＜１．５分＞。予選通過基準点をⅹとおき、与えられた条件を全て文字式に置き換える。
（５）因数分解の問題＜１分＞。共通項を括り（ａ－１）という式を導くことがポイント。瞬間的に解答したい。
（６）円と円周角・接線・外角の問題＜１分＞。円の半径と接線が直交することや外角、円周角の定理を利用して正解を求める。
【大問Ⅱ】
- 時間配分：5分
正誤問題（論証）。
与えられた文章内容の正誤を求められている。このような問題のジャンルは、高校数学で扱う「命題」の中の一分野である。
内容が正しいか否かの判断は、内容に反する事例（反例）の存否で決定する。判例が一つでも存在すればその内容は間違っている、と判断できる。
例えば、
（ア）ａｃ＝ｂｃが成り立てばａ＝ｂである、というのはｃ＝０の場合には、ａ＝ｂでなくともａｃ＝ｂｃが成り立つ（反例）。したがって、「完全に正しい」とは言えない、と結論できる。
（タ）ｘが整数ならばｘ２は自然数である、というのはｘ＝０のときは成立しない。したがって、選択できない。いうまでもないことだが、「整数」とは「負の整数、０、正の整数」であり、「自然数」とは「正の整数」である。したがって、反例としては「０は整数であるが０２＝０」となり、「ｘ２は自然数である」に反する（反例）。
【大問Ⅲ】
- 時間配分：7分
場合の数の問題。
（１）場合の数の問題＜２分＞。
５枚のカードを並べ左から数えて奇数番目に奇数がくる場合の数を考える。奇数番目は、１番目、３番目、５番目であり、奇数のカードは１、３、５，７，９の５枚になる。
（２）場合の数の問題＜５分＞。
奇数が奇数番目にくるということは、偶数が偶数番目にくるということである。（１）と同様に考えてみる。
本問は、内容的には頻出問題である。ポイントは、与えられている条件をいかにうまく当てはめるかであろう。
【大問Ⅳ】
- 時間配分：9分
方程式の応用問題。
（１）文字式の利用＜３分＞。
設問は長い文章であるが、与えられた条件を抽出し、条件通りに式を立てること。
（２）文字式の利用＜３分＞。
２年目となるので、１２月に２０万円を追加して返済し、さらに残りの借金額の４％を上乗せして返済しなければならない。
（３）１次方程式の応用問題＜３分＞。
（１）および（２）で求めたⅹに関する１次方程式を連立させて答えを求める。
【大問Ⅴ】
- 時間配分：5分
正八面体に関する空間図形の問題。
（１）重なり合う点の問題＜０．５分＞。
展開図から正八面体を組み立てたとき、重なり合う点を選択させる問題。
（２）正八面体の体を求める問題＜１．５分＞。
上下どちらかの正四角錐の体積を求め、２倍にすれば求めたい体積が得られる。
（３）正四角錐に内接する球の半径を求める問題＜３分＞。
この類の問題も受験生の大半は演習済みであろう。求める内接球の半径は、正四角錐の側面を底面としたときの三角錐の高さであることから求められる。
【大問Ⅵ】
- 時間配分：10分
図形の求積と関数の問題。
（１）三平方の定理と求積の問題＜１．５分＞。
点ＰはＢＣ上にあるとき、ＡからＢＣに垂線を引き、三平方の定理を利用して△ＡＢＰの高さを求め解答を出す。
（２）三角形の求積と変域の問題＜２分＞。
図形の中に補助線を引くことによって、相似の関係にある三角形が現れる。そこから△ＡＢＰの面積とⅹの変域が求められる。
（３）三角形の求積と変域の問題＜２分＞。
点ＰがＤＡ上にあるときなので、ＡＰを△ＡＢＰの底辺と考えるとＡＰ＝－３ⅹ＋４９で、高さは（１）より１２であるので△ＡＢＰの面積は容易に求められるであろう。
（４）面積と時間の問題＜４．５分＞。
（１）～（３）までで求めた、ｙとⅹに関する式にｙ＝７６．８になるｘの値を求め、それがそれぞれの小問で求めた変域内にあるかどうかを確認する。
【大問Ⅶ】
- 時間配分：6分
三角形に関する平面図形の問題。
（１）辺の長さを求める問題＜２分＞。
与えられた図形の中に相似関係にある三角形を見つけ出し、ＡＤの長さを求める。
（２）三平方の定理を利用した三角形の求積問題＜４分＞。
ＡからＢＣに垂線ＡＥを引き、△ＡＢＥで三平方の定理を用いて△ＡＢＣの高さを求め面積を求める。
【大問Ⅷ】
- 時間配分：9分
２次関数に関する問題。
（１）座標を求める問題＜４分＞。
四角形ＡＢＣＤが平行四辺形になるということを手掛かりに、点Ｃおよび点Ｄの本問における特性（例えばＡＢおよびＣＤを斜辺とする直角三角形を考えるとそれぞれの三角形は合同になる）に基づき考えを進めていく。また、ＡＢ//ＣＤであることから平行条件が使えないかとも考える。点Ｃ・Ｄのⅹ・ｙ座標の設定にも一工夫が必要であろう。
（２）平行四辺形の求積問題＜５分＞。
ＣＤとｙ軸との交点をＥとすると、四角形ＡＢＣＤ＝△ＡＢＥ×２となる。したがって、まずは△ＡＢＥの面積を求めることを考える。
攻略ポイント
全体的には、難問奇問の類はない。極めて標準的なレベルの出題である。ただし、試験時間との関係で考えると見直しをする時間的余裕はないと考えた方がよい。
対策としては、正確な計算力と正解を得るための解法に対する見通しの良し悪しが重要なカギとなる。
例えば、計算も展開公式を応用すれば解答時間が大幅に減らすことも可能になる。
つまり、
４６２＋４７２＋４８２＋４９２＋５０２－５１２－５２２－５３２－５４２
の計算をすることを考えてみよう。これをまともに左から「力ずく」で計算する受験生はいないであろう。
ではどうするか。
与式＝４６２－５４２＋４７２－５３２＋４８２－５２２＋４９２－５１２＋５０２＝（４６＋５４）（４６－５４）＋（４７＋５３）（４７－５３）＋（４８＋５２）（４８－５２）＋（４９＋５１）（４９－５１）＋５０２
という具合に与式を書きかえる（乗法の展開公式である和と差の積は２乗の差を利用）ことにより、計算時間は短縮され結果の精度は飛躍的に高まる。
また、図形問題も必須である。特に、平面図形における各種定理（三平方の定理、中心角と円周角など）をしっかり自分のものにすることである。
なぜならば、それらの定理は必ず立体図形にも応用できるからである。