慶應義塾高等学校 入試対策
2023年度「慶應義塾高等学校の数学」
攻略のための学習方法
基本的原理や定理などをしっかり理解することである。つまり、公式や定理についてもできれば、一通り自分の力で証明しておくことを勧める。
公式や定理はいうまでもなく『一つの考え方の結果』である。したがって、『結果』としての公式や定理を『道具』としてしか使うことができない場合、確かにスピーディーに正解を導くことは可能かもしれないが、それが本当の学力なのかを考えて欲しい。
受験生（特に慶應義塾高校を志望する受験生）には、『公式や定理』を導くプロセスにおける『考え方』を理解し、安易に『公式や定理』を暗記するという学習姿勢に陥らないようにしてもらいたい。とにかく自分の頭で『考えること』、そして『考え抜くこと』である。
さらに、極めて高いかつ正確な計算力が求められていることはすでに述べた。特に、連立方程式、因数分解において、文字の置き換えによる計算式の簡略化を図ることが正解への近道である場合がある。この解法手法については連立方程式、式の展開、因数分解の問題演習においてしっかり事前準備を行うことである。
しかも、入試問題全体を通じ、因数分解や展開の考え方を用いなければ徒に解答時間が長引いてしまう設問が多い。
そのためにも、最高レベルの計算問題（式の展開、因数分解、連立方程式、平方根）を日々演習する必要がある。場合によっては、高校数学Ⅰの問題集に掲載された式の展開および因数分解に関する問題（ただし、式の展開および因数分解の範囲は２次まで）を徹底的に行うことも必要になってくると思われる。
関数については１次関数、２次関数、そしてその融合問題は事前にしっかり練習を行っておくこと。放物線と直線の交点に関する問題、放物線上の異なる点を結んでできる図形に関する問題など、放物線と直線に関する問題は単に関数の分野に限らず、方程式、相似、回転体（立体）とその表面積・体積を問う求積問題など出題範囲は多岐にわたる。
慶應義塾高校の入試問題は難問というよりも標準問題が多く出題される。しかも、その解法にあたってはオーソドックスな思考で十分正解可能な問題ばかりである。
したがって、少しのミスも許されず手際よく解答できなければいけない。
また、論理的思考力を見る問題にも積極的に挑戦してもらいたい。
高校数学では論証というジャンルであり、具体的には命題という内容である。一つの文章内容が反例（内容が間違っていることを示す例）もなく正しいかどうかを考える問題である。受験生の「自分の頭で考え」そして「最後まで考え抜く」姿勢が大事であることは明白である。受験生の側においても根本的な設問の原理や仕組みを掘り下げて考えるという「骨太で逞しい地頭」というものを自分のものにするために、標準以上の問題を自分の頭でとことん考え抜くという練習に全力を注いでもらいたい。
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2023年度「慶應義塾高等学校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
大問１は、小問集合問題＜17分＞。
数の性質、数の計算、関数、連立方程式、平面図形(辺の長さ)に関する小問である。
大問２は、確率に関する問題＜9分＞。
カードを用いた確率問題である。
大問３は、数の性質に関する問題＜8分＞。
約数及び自然数に関する問題である。
大問４は、2次方程式の応用に関する問題＜5分＞。
食塩水に関する2次方程式の応用問題である。
大問５は、関数(2次関数と1次関数の融合)に関する問題＜9分＞。
面積、辺の長さを問う問題である。
大問６は、空間図形(回転体)に関する問題＜12分＞。
体積及び面積を求める問題である。
【大問１】小問集合問題
- 時間配分：17分
（１）数の性質問題＜2分＞。
7123を100で割った余りを求める問題である。100で割るという点がポイントである。つまり、余りは整数の下2ケタの数字になる。
（２）数の計算問題＜2分＞。
与式の単項式の組み合わせると等差数列の和を求める問題となる。
（３）数の計算問題＜2分＞。
√2023 + √2022＝Ａ、√60 – √2022＝Ｂとして与式を書き換える。
（４）数の性質に関する問題＜3分＞。
正ｎ角形(ｎ≧3)の1つの内角、外角をそれぞれｘ°、ｙ°とすると、ｘ°+ｙ°＝180°である。よって、ｘが整数であればｙも当然に整数になることを利用する。
（５）関数に関する問題＜3分＞。
1次関数の直線の式と変域に関する問題である。
（６）連立方程式に関する問題＜3分＞。
与式はそれぞれ、ｘｙ(ｘ＋ｙ－9)＝120、ｘ＋ｙ－9＝－ｘｙ－22と変形し代入法を利用する。
（７）平面図形(辺の長さ)に関する問題＜2分＞。
条件より、△ＡＢＣ∽△ＥＦＣ、△ＡＢＥ∽△ＣＤＥ、△ＥＦＧ∽△ＣＤＧとなる。それぞれの相似関係において対応する辺の比例式を活用する。
【大問２】カードを用いた確率に関する問題
- 時間配分：9分
（１）確率を求める問題＜2分＞。
１、２、３、４、６のカードから１枚取り出しそれを戻してさらに１枚取り出す作業を３回繰り返すとき、その３つの数字(ｘ、ｙ、ｚ)の積が偶数になる確率を求める問題である。余事象の考え方を利用する。ｘｙｚが奇数になる確率を１から引く。
（２）確率を求める問題＜3分＞。
ｘｙｚが9の倍数になるのは、3の倍数を2回以上取り出すときである。
（３）確率を求める問題＜4分＞。
8＝23であるので、ｘｙｚが8の倍数になるのは、ｘｙｚの素因数2の個数が3個以上になるときである。
【大問３】数の性質に関する問題
- 時間配分：8分
（１）約数の個数を求める問題＜2分＞。
108＝22×33であるので約数の個数は、(２＋１)(3＋１)＝12となる。これは絶対に忘れないように。
（２）自然数ｎの個数を求める問題＜3分＞。
［ｎ］＝5ということは、約数の個数が奇数であるのでｎは平方数であることが分かる。
（３）自然数ｎの個数を求める問題＜3分＞。
［ｎ］＜［3ｎ］であり、［ｎ］+［3ｎ］＝9となるので（［ｎ］、［3ｎ］）＝（１、８）（２、７）（３、６）(４、５)である。これを手掛かりに問題に取り組もう。
【大問４】2次方程式の応用に関する問題
- 時間配分：5分
食塩水の濃度に関する2次方程式の応用問題である。食塩水の濃度に関しては「塩」の量に着目して立式するのがポイントである。
【大問５】関数(2次関数と1次関数)に関する問題
- 時間配分：9分
（１）面積を求める問題＜4分＞。
条件を満たした場合、△ＯＤＦは正三角となる。また、△ＯＡＢは正三角であることを利用する。さらに、Ｃよりｘ軸に垂線ＣＣ’を引くと、△ＣＯＣ’は三辺比が１：２：√3の直角三角形となる。
（２）辺の長さの比を求める問題＜5分＞。
ＣＤとＡＧの交点をＱとすると、ＱＣ∥ＦＧであるので△ＣＱＨ∽△ＦＧＨとなる。さらに、Ａよりｘ軸にＡＡ’を引くと△ＡＯＡ’は三辺比が１：２：√3の直角三角形となる。また、ＧＣとＡＡ’の交点をＲとすると△ＱＧＣ∽△ＡＧＲであることを利用する。
【大問６】空間図形(回転体)に関する問題
- 時間配分：12分
（１） 体積を求める問題である＜5分＞。
本問に限らず空間図形の問題は「ある方向からの平面図形」を考えるということである。次に、その平面図形に相似などの原理をあてはめると解法が見えてくる。本問もＡＯとＣＤの交点をＥ、ＡＯに引いた垂線の交点をＦとすると求める体積は、△ＡＯＢの回転体の体積から△ＡＤＦと△ＥＤＦの回転体の体積を引いた体積となる。
（２） 面積を求める問題である＜7分＞。
△ＡＢＣと円Ｏは垂直の関係であり、△ＡＢＣは直角二等辺三角形でＯはＢＣの中点であることが分かる。円Ｏの円周上にＰをとると△ＡＰＯ≡△ＡＢＯとなるので△ＡＰＯは直角二等辺三角形となる。よって求める表面積は、△ＡＢＣの回転体(円錐)の側面積+半球の曲面部分の面積となる。
攻略のポイント
全体的には、極めて標準的なレベルの出題である。ただし、問いかけの切り口が極めて特殊である問題の割合が高いので、様々な問題を事前に演習しておかなければ解法への一歩が踏み出せないであろう。
試験時間との関係で考えると見直しをする時間的余裕はない。見直しをできないことを考えると、正確な計算力と正解を得るための解法に対する見通しの良し悪しが重要なカギとなる。
平面図形における各種定理（三平方の定理、中心角と円周角、相似と面積・体積、合同など）をしっかり自分のものにすることである。それらの定理は必ず立体図形にも応用できる。
また、関数（１次・２次の融合問題）も難度の高い問題に果敢に挑戦し、安易に解説を見ることなく自分の頭で考え抜くことが合格への王道である。
新傾向の問題(特に規則性が関係している問題)は、当然ながら初見の問題が多いだろうが、そのような問題でも手掛かりは必ずあるので論理的数学的思考に慣れるようにしておくことが大事である。