明治大学付属中野高等学校 入試対策
2025年度「明治大学付属中野高等学校の数学」
攻略のための学習方法
極めて標準的な問題ばかりである。一問だけ途中の式や考え方を書かせる問題があるが、設問そのものは基本問題であるので、手際よく考え方を記述すれば完答できる問題である。以下に、合格答案作成のための学習ポイントを以下に記載する。
①関数（放物線と直線）について
高校入試における必須分野の一つが関数である。特に、２次関数である放物線と１次関数である直線との融合問題は、必ず出題されると考えて十分な演習を行うこと。具体的には、放物線と直線の交点の座標の求め方、指定された図形の求積（この場合は等積変形の考え方を用いる）などの問題は要注意である。そして、その際には相似や合同の考え方、平行線と案分比率、平面図形の定理等（中点連結定理・角の２等分線に関する定理など）をしっかり使いこなせるようにしておかなければならない。
②平面図形について
平面図形の問題は、三平方の定理、角の２等分線に関する特殊定理、中点連結定理などは必須知識である。さらに、相似、合同などに関する考え方や視点がとても重要である。これは上記の関数における求積問題に共通する解答アプローチの手法である。また、補助線を的確に引けるかどうかがポイントとなる。この補助線を引くという作業ができないと、問題の突破口は見出せない。必要なのは、柔軟な発想とイマジネーションである。与えられた図形の中から解法にとって重要な図形を見出すことができるか否かである。与えられた図形の中には実に沢山の図形が描かれているのである。その中から、解答に必要な図形を迅速かつ確実に抽出することができる能力が求められるのである。
③空間図形について
空間図形（３次元）も、入試数学においては頻出である。この３次元の図形をいかにして自分が一番解きやすい次元に落とし込むことができるかが合否を分けるのである。つまり、３次元⇒２次元への変換の手際の良さが求められるのである。つまり、３次元の空間図形を平面に置き換えるということである。それは、与えられた空間図形に関して、３方向（正面、真上、真横）から見た像を頭の中で一つの立体として組み立てることができるイメージ力が求められるのである。そのトレーニングは日々怠りなく行う必要がある。
④記述式答案作成上の注意点
記述式問題はどの程度の内容にするかが重要である。基本的には、まずは解法に際して一番初めの式を書く。その後は、思考の経過が判明するための必要最小限度の記述内容にすること。つまり、いかにして答案の内容を端的に採点者に伝え切るかということである。そのためにも、試験本番だけではなく事前の準備として、より効率的で分かり易い記述答案作りを自身が研究しなければならない。避けたいことは、何でも詳細に答案を書こうとして、細かな点まで書いてしまうことである。採点者側の視点は、受験生が問題を解く上でどのような考え方に基づき、式を立てたかなのである。答えだけがあっていればよい、という発想から脱却し、他人（採点者）を説得できるだけの過不足のない効率的な答案作成を目指して欲しい。
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2025年度「明治大学付属中野高等学校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
大問１は、小問集合問題＜6分＞。
数の計算(平方根)、因数分解、平面図形(角度)、関数からの出題。標準問題である。完答を目指そう。
大問2は、小問集合問題＜8分＞。
連立方程式、数の性質、確率、数の計算(指数法則)、データの活用に関する問題などである。いずれも標準問題。
大問3は、関数(１次関数と反比例)問題＜9分＞。
y軸切片、xy座標平面上における三角形の求積問題 。いずれも標準問題である。完答を目指そう。
大問４は、平面図形(円と内接する四角形)に関する問題＜9分＞。
典型的な標準問題。相似の概念をあてはめ、辺の長さの比、辺の長さを求める問題である。
大問５は、関数(１次関数と２次関数)に関する問題＜8分＞。
一度は演習したことのある１次関数と２次関数の融合問題である。
大問6は、空間図形(球と直方体)に関する問題＜10分＞。
切り口の平面における原理(三平方の定理など)を的確にあてはめること。
【大問１】小問集合問題
- 時間配分：6分
【大問２】小問集合問題
- 時間配分：8分
標準問題ばかりであり、完答して欲しい。
本問は、中学3年生までに学習する数学の知識を、様々な形式で総合的に評価することを意図している。 (1)は分母に文字を含む連立方程式、(2)は平方根と約数に関する整数問題、(3)は確率、(4)は複雑な式の値、(5)は平均値と中央値という統計の基礎知識を問うている。全体を通して、各分野の基本的な解法を正確に理解し、応用する力が求められおり、特に(4)のような複雑な式の値の問題は、計算を工夫する能力が問われる典型的な形式である。
（１）連立方程式に関する問題＜2分＞。分母に文字が入っているパターンの連立方程式である。
とおいてA、Bに関する連立方程式を解く。
（２）数の性質に関する問題＜1分＞。初めに２０２５を素因数分解し、分子がある自然数の２乗になるように工夫する。
（３）確率に関する問題<2分>。大小２つのさいころ用いた確率の問題。一度は演習したことの有る類の問題であろう。x２+ax+b=０が整数解をもつということは、左辺が因数分解できるということである。
（４）数の計算問題<1分>。与式を整理し、xy、x２、y２の値を求めて代入する。
（５）データ活用問題＜2分＞。平均値、中央値の概念をしっかり理解しておくこと。
※次の基本問題に挑戦してみよう！
問１．√18n と
がともに整数となるような自然数 n をすべて求めなさい。
解答 2, 8, 32, 128
問２．10個の数 15、23、27、a、b、35、37、c、41、45 がある。これらの数の平均値は32、中央値は32.5です。a、b、c はすべて異なり、27<a<b<35<c<41 を満たす整数であるとき、a、b、c の値をそれぞれ求めなさい。
解答 a=29、b=30、c=38
【大問３】関数(1次関数と反比例)に関する問題
- 時間配分：9分
本問は、関数分野の総合的な理解を問うものである。
１．関数のグラフと座標: Aのx座標が 
であることからAの座標が求められるかどうかがポイントである。
２．図形の面積: 3つの点を結んでできる三角形の面積を求める問題。単に公式に当てはめるだけでなく、座標平面上の図形の性質を理解し、面積を求めるための工夫（たとえば、台形から不要な部分を引く、底辺と高さを特定する）ができるかを問うている。
３．文字式の利用: 点Bのx座標を t とおくことで、文字を使って複雑な問題を整理し、方程式を立てて解く能力が求められている。
全体として、関数の基礎知識と、それを応用して図形の問題を解く論理的思考力、そして正確な計算力が求められる問題である。
（１）y軸切片を求める問題＜3分＞。Aはy=
上にあり、x座標が であることよりAの座標が求められ、y=2x+bに代入しｂの値を求める。
（２）三角形の求積問題＜6分＞。BとCのｘ座標が等しいことより、△ABCの底辺をBCとして考える。
【大問４】平面図形(円と内接する四角形)に関する問題
- 時間配分：9分
本問の出題意図は以下の通りである。
１．円周角の定理の理解と応用:
●円に内接する四角形では、同じ弧に対する円周角が等しいという円周角の定理が成り立つ。この定理を利用して、図形内に隠された相似な三角形を見つけ出すことが最初の重要なステップである。
２．三角形の相似の証明と性質の活用:
●円周角の定理を用いて、対角線の交点Eによってできる三角形（△ABE、△ADE、△BCE、△DCE）の中に、2組の相似な三角形（△ABE ∽ △DCE、△ADE ∽ △BCE）が存在することを見抜けるかどうかがポイントである。
●相似な三角形の対応する辺の比が等しいという性質を正確に把握し、辺の長さを求めるためにその比を適切に使う能力が問われている。
３．比の統合と対角線の分割:
●(1)と(2)でそれぞれ異なる相似な三角形から求めた辺の比（AE:BEとBE:DE）を統合し、対角線ACとBDが交点Eによってどのように分割されるかを理解しているかを評価している。
４．連立方程式や面積比による長さの導出:
●(3)の対角線BDの長さを求める問題では、(1)と(2)で求めた辺の比を使い、具体的な長さを求める必要がある。このタイプの問題は、比を文字（kなど）で表し、相似な三角形や方べきの定理、あるいは三角形の面積比などを使って連立方程式を立てて解くことが求められます。
●特に、中学数学の範囲で解くには、相似な三角形から辺の比を導き出し、面積比が辺の比で表せるという関係を利用して、最終的な答えを導き出すような、高度な思考力が試されます。
この問題は、単一の知識を問うだけでなく、複数の定理や概念を組み合わせて複雑な問題を解決する総合的な力を評価することを目的としていると言えます。
（１）辺の長さの比を求める問題＜2分＞。△AED∽△BECであることを利用する。
（２）辺の長さの比を求める問題＜3分＞。△AEB∽△DECであることを利用し、DE=２AEを導く。
（３）辺の長さを求める問題＜4分＞。AE：BE＝３：２であるので、AE＝３ｘ、BE＝２ｘとおける。△AEB∽△DECであり、△ABDはAB＝DA＝６の二等辺三角形である。また、与えられた図形の中に相似な三角形を的確に把握すること。
※次の類題に挑戦してみよう！
問１．円に内接する四角形ABCDがあり、AB=5cm、BC=3cm、CD=10cm、DA=5cmであり、対角線ACとBDの交点をEとするとき、次の問いに答えなさい。
(1) AE : BE を最も簡単な整数の比で表しなさい。
(2) BE : DE を最も簡単な整数の比で表しなさい。
(3) 対角線BDの長さを求めなさい。
解答 (１) 5：3 (２) 3：10 (３) 
【大問５】関数(1次関数と2次関数)に関する問題
- 時間配分：8分
本問の出題意図は以下の通りである。
１．放物線の性質の理解:
●放物線 y=ax2 のグラフがy軸に関して対称であるという性質を理解しているかを確認している。ABはx軸に平行な関係から、そのx座標がy軸に対して対称であることに気づく必要がある。
●上記内容を利用して、与えられた点A、Bの座標を設定できるかどうかが、問題解決の鍵となる。
２．座標と幾何学の融合:
●座標平面上の2点間の距離の公式や、三角形の面積を求める公式を正確に使えるかを評価します。
●与えられた辺の長さAB、ACや角度∠BACの情報から、点A、B、Cの座標を特定する能力が求められる。
３．図形の性質と座標の関連付け:
●△ABCが二等辺三角形（AB=AC）であることや、∠BAC＝120°であるという情報から、座標を計算する際に三平方の定理や三角比（中学数学の範囲では特殊な直角三角形の比）を活用できるかが問われている。
４．面積の二等分と直線の式の活用:
●(3)では、直線が三角形の面積を二等分するという条件から、その直線が通る点Eや、面積を二等分する点（CD上にある点F）の座標を求める能力が必要である。
●このためには、線分CDの中点を求める、あるいは台形の面積を求めるなど、複数のステップを踏む必要がある。
５．総合的な問題解決能力:
●(1)で放物線の式を特定し、(2)で三角形の面積を求める過程で座標を正確に計算し、(3)で直線の性質と面積の関係を組み合わせて解く、という一連の流れを通じて、複数の知識を統合的に使う力が評価される。
この問題は、単に公式を当てはめるだけでなく、図形の性質を座標平面上でどう表現し、計算に結びつけるかを考える難易度の高い応用問題である。
(１)比例定数を求める問題＜2分＞。AとBはy軸に関して対称な点である。CからBAの延長に垂線CHを引くと△CAHは直角三角形となり、3辺の比は１：2：√3となる。
(２)面積を求める問題＜3分＞。△HBCは3辺の比が１：2：√3の直角三角形である。△DCIも3辺の比が１：2：√3の直角三角形となっている。これらのことより、△BCDの面積を求める。
(３)座標を求める問題＜3分＞。題意より、△CEF＝24√3となる。△CEIは3辺の比が１：2：√3の直角三角形であり、FからCIに垂線FJを引くと△FCJも3辺の比が１：2：√3の直角三角形である。
【大問６】空間図形(球と直方体)に関する問題
- 時間配分：10分
本問の出題意図は以下の通りである。
1.空間図形の性質の理解:
●球が直方体の面に接しているという条件から、球の半径と直方体の辺の長さの関係を正確に把握できるかを問うている。
●球の半径を文字で表し、その情報から直方体の辺の長さを導き出す能力が求められる。
2.三平方の定理と空間図形への応用:
●球の中心間の距離を求める際に、直方体の辺を組み合わせてできる直角三角形をイメージし、三平方の定理を空間的に応用できるかがポイント。
●特に、球の中心を頂点とする立体の体積を求める際に、高さや底面積を正確に計算できるかが重要となる。
3.座標空間の活用:
●複雑な立体の体積を求める際に、各点の座標を設定し、座標幾何学の手法を用いて計算できるかどうかも、この問題の出題意図に含まれている。
4.総合的な問題解決能力:
●(1)で球の半径から辺ADの長さを求め、(2)でその情報を使って球の中心(２つ)とEHからなる立体の体積を計算するという一連の流れを通じて、複数のステップを論理的に進める力が評価される。
（１） 辺の長さを求める問題＜4分＞。AD、BC、EH、FGの中点をそれぞれI、J、L、Kとしたときに、平面IJLKで本問を平面図形の問題(三平方の定理などのあてはめ)に持ち込むことにより解法が見えてくる。
（２） 体積を求める問題＜6分＞。本問にある立体O1O2EHはH- O1O2LとE – O1O2Lという2つの三角錐に分けられる。このことを手掛かりに体積を求めてみよう。
攻略のポイント
全問基本問題から標準（応用）問題である。難問は出題されていない。基本問題と標準（応用）問題の出題比率は、６：４である。とにかく、基本問題から標準問題までの演習を徹底し繰り返して行うことである。入試本番で難問は出題されていないので、合格者の最低得点率は高くなる。おそらく最低でも７割は得点しなければならないであろう。したがって、少しのミスも許されない。正確で迅速な計算力の向上も念頭に置きながら日々の学習に励んでもらいたい。将来的なこと（大学、社会人）を考えると、「統計学」は注目される分野の一つになることは確実である。その意味で、統計の導入分野である「資料の整理」に関しても、演習（用語の定義などを含め）も必ず行って欲しい。