芝浦工業大学柏高等学校 入試対策
2021年度「芝浦工業大学柏高等学校の数学」
攻略のための学習方法
芝浦工業大柏高校の入試問題は、標準問題が９割であるので得点は８０％を目指して欲しい。特に、数学を得意とする受験生は１００点を目指して貰いたい。出題形式が『解答形式が指定』されているので、最終的な解答の『形』に注意しなければならない。しかし、その前提は問題の正解に辿り着くことであるので、第一に念頭に置かなければならないのは、『確実な数学力の向上』である。そのために何をしなければならないかを、以下に述べてみる。
徹底的な標準問題の演習を日々繰り返し行って欲しい。全国上位高校の入試問題について時間を決めて演習するのである。演習時間は、問題の難易度によっても異なるが、小問が３～４題設定されている大問であれば１２～１４分が目安であろう。計算問題や一行問題であれば解答時間は１～２分を目安に取り組んで貰いたい。それでは、具体的な分野を挙げて学習法を考えてみよう。数量編で最重要分野はいうまでもなく『関数』である。特に、放物線と直線との関係をしっかり演習すること。なぜ、そのような分野が入試問題として頻出するのか。理由は、数学のあらゆる『分野』の問題を作問できるからである。例えば、放物線と直線の交点は連立方程式を立て２次方程式を解く計算力が試される。また、その２点の交点と原点を結んでできる三角形に関する問題も種々設定可能である。相似の考え方を持ち込んで解く問題、その三角形の面積を２等分する直線の式を求める問題、座標平面上にできた図形をある直線を回転軸としてできる回転体の体積を求める問題、さいころ２つ振って出た目の数だけ直線上を点Ｐ（ｍ，ｎ）〔ｍとｎはともに整数〕から移動するとした場合にＰが格子点（x座標、y座標が共に整数である）に移動する場合の数やある一定の条件を与えられ場合の確率を求める問題など相当な分野をカバーできる問題が作問できるのである。
したがって、単に放物線（２次関数）だけの問題を演習するのではなく、それ以外の分野も取り込んだ融合問題を多く（最低５０題）演習するように。また、分野を絞り込めば平面図形（相似、三平方の定理、円と直線・放物線）に関する問題も徹底して演習しておいて欲しい。図形の問題は、単に『定理』を知っているから正解に辿りつけるという訳ではないことは言うまでもない。複雑そうに絡み合う複数の図形の中から、正解に必要な図形をどのようにして見抜いてゆくか、また見抜けるかということが大事になってくる。その様な『見通し』がないと、何時間もその問題を見ていても正解どころか手掛かりとなる『ヒント』さえもつかめなくなってくる。
それでは、どのようにしたら正解に辿り着ける図形を見抜けるようになるのか。
一つの方法としては『結論から逆算する』という手法である。例えば証明問題であれば、最終的に『何がどうなっていれば与えられた問題が正しいと証明できるのか』ということを考えるのである。つまり、ＡＢ＝ＣＤということを証明したければ、ＡＢ、ＣＤを含む図形（三角形や平行四辺形）の合同証明を行えばよい、という方針を立てられるかどうかということである。そのような手法を用いることで、図形編の問題の正答率は飛躍的に向上するであろう。
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2021年度「芝浦工業大学柏高等学校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】は雑問集合問題である＜6分＞。平方根の計算、2次方程式の応用などが出題されている。完答を目指したい。
【大問２】は関数の問題である＜9分＞。直線と放物線に関連した融合問題。事前の準備をしっかり行っておくこと。
【大問３】はさいころを用いた確率の問題＜12分＞。３つのさいころを投げたときに出た目の数に関する確率問題である。
【大問４】は円と三角形に関連した平面図形の問題＜11分＞。相似、三平方の定理を駆使する。
【大問５】は三角錐に関する空間図形の問題＜12分＞。本問も平面図形の相似、辺の比等を当てはめる。
【大問１】は小問集合問題
- 時間配分：6分
（１）は平方根の計算である＜1分＞。正確に計算すること。
（２）は2次方程式の応用問題である＜1分＞。解と係数の関係をしっかり理解することが重要である。x2＋ax＋ｂ＝０の解がｘ＝７、－４である場合、(ｘ－７)(ｘ＋４)＝０と因数分解できることから問題を解く方法をマスターしよう。
（３）は整数の性質に関する問題である＜1分＞。約数の個数を求める問題である。約数の個数については、A＝am×bnと素因数分解できる場合にその約数の個数は(ｍ＋１)(ｎ＋１)で求められる。
（４）は平面図形の面積を求める問題である＜3分＞。AE：EF＝2：3であることより、図形の辺の比を求め、△ABF＝
△ABCであることを利用する。
【大問２】は1次関数と２次関数に関する融合問題
- 時間配分：9分
（１）は直線の式を求める問題である＜2分＞。P（ｘ座標＝－４）、A（ｘ座標＝－1）よりそれぞれｙ＝ｘ２上に存在しているので、P、Aの座標を求めることから始める。
（２）は△ABPの面積を求める問題である＜2分＞。△ABPを含む台形を考え、全体の台形より二つの三角形の面積を引いて△ABPの面積を求める。
（３）はPのｙ座標を求める問題である＜2分＞。APとx軸との交点をSとすると、APの傾きはASの直線の傾きと同じであることを利用し、APの式を求めPのx座標を求めてy座標を導く。
（４）は与えられた図形の面積を２等分することに関する問題である＜3分＞。Aを通り、傾き＝４である直線が△ABPの面積を2等分する場合、この直線はAとBPの中点を結んだ直線になる。
【大問３】はさいころの目の出方に関する確率の問題
- 時間配分：12分
玉がそれぞれ6個ずつ入っている箱A、B、Cがあり、さいころX、Y、Z(目は1～6)を同時に1回投げそれぞれ出た目をx、y、zとしたとき、Aからx個をBに入れ、Bからy個をCに入れ、Cからz個をAに入れる操作を行った場合の指定された状態の確率を求める問題である。
（１）Bの中の玉の数が6個になる確率を求める問題である＜3分＞。もともとBの箱には6個の玉が入っているのであるから(ｘ，ｙ)＝(１，１)、(２，２)、(３，３)、(４，４)、(５，５)、(６，６)の6通りである。さいころの目の出方は63＝216通り。
（２）Ｂの中の玉の数が4の倍数になる確率を求める問題である＜3分＞。Ｂの中の玉の最大個数は6＋6−1＝11個である。したがって、その範囲で4の倍数は４、8である。
（３）玉の数が1個になる確率を求める問題である＜３分＞。まずはＢの中の玉が1個になる場合を考え、同様にＡ、Ｃにおいても入っている玉の数が1個になる場合を考える。
（４）Ｂの中の玉の数がＡの中の玉の数より多くなる確率を求める問題である＜3分＞。Ａの中の玉の数は6−x＋zであるので題意を満たす場合、6＋x−y > 6−x＋z が成立する。これを手掛かりに題意を満たす場合を考える。
【大問４】は円三角形に関する平面図形の問題
- 時間配分：11分
（１）角度を求める問題である＜1分＞。中心角と円周角の考えを当てはめること。
（２）辺の長さを求める問題である＜2分＞。与えられた図形において、△ＡＯＤ≡△ＡＯＦ、△ＢＯＥ≡△ＢＯＤ、△ＣＯＥ≡△ＣＯＦであることからＢＣの長さを求める。
（３）辺の長さを求める問題である＜4分＞。△ＡＯＤ∽△ＤＯＧであることを利用し、かつ△ＡＯＤにおいて三平方の定理を用いてＯＧの長さを求める。
（４）△ＡＢＣの面積を求める問題である＜4分＞。△ＡＢＣにおいて三平方の定理をあてはめる。
【大問５】は空間図形（三角錐）に関する問題
- 時間配分：12分
（１）体積を求める問題である＜2分＞。∠ＡＢＣ＝90°であることより求める体積は、△ＡＢＣ×ＢＰ÷３となる。
（２）辺の長さを求める問題である＜2分＞。Ａ、Ｐ、Ｍが通る展開図をかき、そこに平行な直線を補助線として引き中点連結定理をあてはめる。
（３）辺の長さを求める問題である＜4分＞。三角錐Ｄ－ＡＢＣの体積が指定されていることから具体的にその体積を求め、底面を△ＤＰＭとする三角錐の体積を考える。
（４）辺の長さを求める問題である＜4分＞。ＢＰ＝ xとおくと、ＤＰ＝8 − ｘとなる。ここから図形において判明している事柄を導き、xの方程式を立てその解を求める。
攻略のポイント
標準問題ばかりである。８割以上の得点を目指したい。中学数学の範囲からまんべんなく出題されている。難問はないが、基本問題が主流なので少しの計算ミスでも命取りになる。計算ミスなどの単純なケアレスミスは絶対にしてはならない。したがって、計算力をしっかりと身に付けることを最優先で行わなければならない。その際、解答時間（２分程度）を決めて集中して問題に取り組むようにする。その繰り返しの中で、例えば「２分」という解答時間を感覚的に身に付けることができるのである。押さえておきたい分野としては、２次方程式（展開・因数分解）、関数（１次関数・２次関数）、平面図形・空間図形（三平方の定理・各種定理）、場合の数・確率である。