芝浦工業大学柏高等学校 入試対策
2022年度「芝浦工業大学柏高等学校の数学」
攻略のための学習方法
芝浦工業大柏高校の入試問題は、標準問題が９割であるので得点は８０％を目指して欲しい。特に、数学を得意とする受験生は１００点を目指して貰いたい。出題形式が『解答形式が指定』されているので、最終的な解答の『形』に注意しなければならない。しかし、その前提は問題の正解に辿り着くことであるので、第一に念頭に置かなければならないのは、『確実な数学力の向上』である。そのために何をしなければならないかを、以下に述べてみる。
徹底的な標準問題の演習を日々繰り返し行って欲しい。全国上位高校の入試問題について時間を決めて演習するのである。演習時間は、問題の難易度によっても異なるが、小問が３～４題設定されている大問であれば１２～１４分が目安であろう。計算問題や一行問題であれば解答時間は１～２分を目安に取り組んで貰いたい。それでは、具体的な分野を挙げて学習法を考えてみよう。
数量編で最重要分野はいうまでもなく『関数』である。特に、放物線と直線との関係をしっかり演習すること。なぜ、そのような分野が入試問題として頻出するのか。理由は、数学のあらゆる『分野』の問題を作問できるからである。例えば、放物線と直線の交点は連立方程式を立て２次方程式を解く計算力が試される。また、その２点の交点と原点を結んでできる三角形に関する問題も種々設定可能である。相似の考え方を持ち込んで解く問題、その三角形の面積を２等分する直線の式を求める問題、座標平面上にできた図形をある直線を回転軸としてできる回転体の体積を求める問題、さいころを２つ振って出た目の数だけ直線上を点Ｐ（ｍ，ｎ）〔ｍとｎはともに整数〕から移動するとした場合にＰが格子点（x座標、y座標が共に整数である）に移動する場合の数や、ある一定の条件を与えられ場合の確率を求める問題など、相当な分野をカバーできる問題が作問できるのである。したがって、単に放物線（２次関数）だけの問題を演習するのではなく、それ以外の分野も取り込んだ融合問題を多く（最低５０題）演習するように。
また、分野を絞り込めば平面図形（相似、三平方の定理、円と直線・放物線）に関する問題も徹底して演習しておいて欲しい。図形の問題は、単に『定理』を知っているから正解に辿りつけるという訳ではないことは言うまでもない。複雑そうに絡み合う複数の図形の中から、正解に必要な図形をどのようにして見抜いてゆくか、また見抜けるかということが大事になってくる。その様な『見通し』がないと、何時間もその問題を見ていても正解どころか手掛かりとなる『ヒント』さえもつかめなくなってくる。それでは、どのようにしたら正解に辿り着ける図形を見抜けるようになるのか。一つの方法としては『結論から逆算する』という手法である。例えば証明問題であれば、最終的に『何がどうなっていれば与えられた問題が正しいと証明できるのか』ということを考えるのである。つまり、ＡＢ＝ＣＤということを証明したければ、ＡＢ、ＣＤを含む図形（三角形や平行四辺形）の合同証明を行えばよい、という方針を立てられるかどうかということである。そのような手法を用いることで、図形編の問題の正答率は飛躍的に向上するであろう。
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2022年度「芝浦工業大学柏高等学校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】は雑問集合問題である＜7分＞。平方根の計算、2次方程式、データ活用、平面図形の求積が出題されている。完答を目指したい。
【大問２】は関数の問題である＜9分＞。直線と放物線に関連した融合問題。事前の準備をしっかり行っておくこと。
【大問３】はさいころを用いた確率の問題(データ活用)＜10分＞。３つのさいころを投げたときに出た目の数と紐に関する確率問題である。
【大問４】は円と直角三角形に関連した平面図形の問題＜10分＞。直角三角形の特性、相似、三平方の定理を駆使する。
【大問５】は空間図形(直方体)の問題＜14分＞。本問も平面図形の相似、辺の比等を当てはめる。
【大問１】小問集合問題
- 時間配分：7分
（１）は式の計算(平方根の計算)である＜1分＞。展開の公式を使用し正確に計算すること。
（２）は2次方程式の解の利用問題である＜2分＞。解と係数の関係をしっかり理解することが重要である。x＝－a±10√2よりｘ＋a＝±10√2と変形し、両辺を2乗して考える方法にも慣れておこう。
（３）はデータ活用(度数)に関する問題である＜2分＞。階級、度数、相対度数などに関する概念をしっかり押さえておくこと。
（４）は平面図形の面積を求める問題である＜2分＞。ＡＢＣＤは平行四辺形であるので、△ＡＢＣ＝30である。また、△ＡＥＭ∽△ＣＥＢであることよりＡＥ：ＣＥが求められることを利用して考える。
【大問２】1次関数と２次関数に関する融合問題
- 時間配分：9分
（１）は直線の長さを求める問題である＜1分＞。Ａ(−2，2)、Ｂ(12，0)であるので2点間の距離を求める式を当てはめて考える。
（２）は座標を求める問題である＜2分＞。ＯＡ∥ＢＣであるので△ＡＯＢ＝△ＡＯＣである。ＯＡの傾きとＢＣの傾きは等しいのでＢＣの傾き＝－1となり、Ｂ(12，0)であることからＢＣの直線の式が求められる。ｙ＝1
ｘ2と直線ＢＣを連立してＣのｘ座標をも求める。
（３）は△ＡＢＣの面積を求める問題である＜3分＞。Ｃ(4，8)でありＯＡ∥ＢＣであるので、△ＡＢＣ＝△ＯＢＣである。このことから考えを進める。
（４）は辺の長さを求める問題である＜3分＞。ＣＨ⊥ＡＢであるので、△ＡＢＣ＝×10√2×ＣＨ＝48よりＣＨを求める。
【大問３】データの活用(さいころ)に関する確率の問題
- 時間配分：10分
さいころX、Y、Z(目は1～6)を同時に1回投げそれぞれ出た目をx、y、zとする。さらに、与えられた手順に従って得られるひもＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄに関係した確率の問題である。
（１）確率を求める問題である＜2分＞。ひもＡの長さはｘ㎝、ひもＢの長さはｙcmである。ひもＡ＝ひもＢのときｘ＝ｙであるので、確率は容易に求められるであろう。
（２）確率を求める問題である＜2分＞。3つのさいころの目の出方は6×6×6＝216である。また、ひもＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄの長さが等しくなるので、その長さは20÷4＝5㎝となり、条件よりひもＢはどのひもよりも長くならなければならないので、ｙ(Ｂの長さ)＞5となる。
（３）確率を求める問題である＜3分＞。ひもＤの長さ＝10となるとき、ひもＡ、Ｂ、Ｃの長さの合計は20－10＝10となる。よって、ｘ＋ｙ＋ｚ＝10であるので、ｘ＝1、2、3、…と順番に当てはめていこう。
（４）確率を求める問題である＜3分＞。ひもＤ＝2㎝、ひもＡのみが2㎝、ひもBのみが2㎝、ひもCのみが2㎝である場合をそれぞれ求めて確率を出す。
【大問４】平面図形(直角二等辺三角形、円)に関する問題
- 時間配分：10分
（１）角度を求める問題である＜2分＞。直角二等辺三角形の底角(45°)と円周角の考えを当てはめること。
（２）辺の長さを求める問題である＜2分＞。△ＢＣＤは∠ＢＣＤ＝30°、∠ＣＤＢ＝90°、∠ＤＢＣ＝60°なので、△ＢＣＤは3辺比が1：2：√3の直角三角形であることからＣＤの長さが求められる。
（３）辺の長さを求める問題である＜3分＞。ＣからＡＤに垂線ＣＨを引くと△ＡＣＨは3辺比が1：2：√3の直角三角形であることよりＡＨの長さが分かる。また、△ＣＨＤは直角二等辺三角形であることからＤＨの長さが求められる。よって、ＡＤ＝ＡＨ＋ＤＨとなる。
（４）面積比を求める問題である＜3分＞。ＢからＡＤに垂線ＢＩを引くと△ＡＢＩは3辺比が1：2：√3の直角三角形となり、ＢＩの長さが求められる。また、△ＢＩＥ∽△ＣＨＥとなるので、ＢＥ：ＣＥ＝1：√3となる。さらに、△ＢＥＤ∽△ＡＥＣであることを利用して、最終的には△ＡＢＣ＝△ＡＢＥ＋△ＢＥＤに基づいて考える。
【大問５】空間図形（直方体）に関する問題
- 時間配分：14分
（１）辺の長さを求める問題である＜2分＞。ＭはＡＥの中点であるのでＡＭ＝2であり、ＰからＡＥに垂線ＰＪを引くと△ＭＪＰ≡△ＰＦＧとなる。したがって、ＢＰ＝ＢＦ－ＰＦで求める辺の長さを考える。
（２）辺の長さを求める問題である＜2分＞。△ＥＦＧは直角二等辺三角形であることからＥＧ＝6√2となる。また、△ＭＥＧにおいて三平方の定理を当てはめてＭＧの長さを求める。
（３）面積を求める問題である＜4分＞。△ＩＭＧ＝ＡＥＧＣ－△ＡＭＩ－△ＣＧＩ－△ＭＥＧで求められる。
（４）体積を求める問題である＜6分＞。Ｉ—ＭＰＧＱ＝Ｐ—ＩＭＧ＋Ｑ—ＩＭＧとなる。それぞれの三角錐の体積を求め最終的に四角錐の体積が求められる。
攻略のポイント
標準問題ばかりである。８割以上の得点を目指したい。中学数学の範囲からまんべんなく出題されている。難問はないが、基本問題が主流なので少しの計算ミスでも命取りになる。計算ミスなどの単純なケアレスミスは絶対にしてはならない。したがって、計算力をしっかりと身に付けることを最優先で行わなければならない。その際、解答時間（２分程度）を決めて集中して問題に取り組むようにする。その繰り返しの中で、例えば「２分」という解答時間を感覚的に身に付けることができるのである。押さえておきたい分野としては、２次方程式（展開・因数分解）、関数（１次関数・２次関数）、平面図形・空間図形（三平方の定理・各種定理）、場合の数・確率である。今後は、資料の活用(データ処理)にも注意したい。