芝浦工業大学柏高等学校 入試対策
2023年度「芝浦工業大学柏高等学校の数学」
攻略のための学習方法
芝浦工業大柏高校の入試問題は、標準問題が９割であるので得点は８０％を目指して欲しい。特に、数学を得意とする受験生は１００点を目指して貰いたい。出題形式が『解答形式が指定』されているので、最終的な解答の『形』に注意しなければならない。しかし、その前提は問題の正解に辿り着くことであるので、第一に念頭に置かなければならないのは、『確実な数学力の向上』である。そのために何をしなければならないかを、以下に述べてみる。
徹底的な標準問題の演習を日々繰り返し行って欲しい。全国上位高校の入試問題について時間を決めて演習するのである。演習時間は、問題の難易度によっても異なるが、小問が３～４題設定されている大問であれば１２～１４分が目安であろう。計算問題や一行問題であれば解答時間は１～２分を目安に取り組んで貰いたい。
それでは、具体的な分野を挙げて学習法を考えてみよう。数量編で最重要分野はいうまでもなく『関数』である。特に、放物線と直線との関係をしっかり演習すること。
なぜ、そのような分野が入試問題として頻出するのか。理由は、数学のあらゆる『分野』の問題を作問できるからである。例えば、放物線と直線の交点は連立方程式を立て２次方程式を解く計算力が試される。また、その２点の交点と原点を結んでできる三角形に関する問題も種々設定可能である。相似の考え方を持ち込んで解く問題、その三角形の面積を２等分する直線の式を求める問題、座標平面上にできた図形をある直線を回転軸としてできる回転体の体積を求める問題、さいころを２つ振って出た目の数だけ直線上を点Ｐ（ｍ，ｎ）〔ｍとｎはともに整数〕から移動するとした場合にＰが格子点（x座標、y座標が共に整数である）に移動する場合の数やある一定の条件を与えられ場合の確率を求める問題など相当な分野をカバーできる問題が作問できるのである。
したがって、単に放物線（２次関数）だけの問題を演習するのではなく、それ以外の分野も取り込んだ融合問題を多く（最低５０題）演習するように。
また、分野を絞り込めば平面図形（相似、三平方の定理、円と直線・放物線）に関する問題も徹底して演習しておいて欲しい。図形の問題は、単に『定理』を知っているから正解に辿りつけるという訳ではないことは言うまでもない。複雑そうに絡み合う複数の図形の中から、正解に必要な図形をどのようにして見抜いてゆくか、また見抜けるかということが大事になってくる。その様な『見通し』がないと、何時間もその問題を見ていても正解どころか手掛かりとなる『ヒント』さえもつかめなくなってくる。
それでは、どのようにしたら正解に辿り着ける図形を見抜けるようになるのか。一つの方法としては『結論から逆算する』という手法である。例えば証明問題であれば、最終的に『何がどうなっていれば与えられた問題が正しいと証明できるのか』ということを考えるのである。つまり、ＡＢ＝ＣＤということを証明したければ、ＡＢ、ＣＤを含む図形（三角形や平行四辺形）の合同証明を行えばよい、という方針を立てられるかどうかということである。
そのような手法を用いることで、図形編の問題の正答率は飛躍的に向上するであろう。
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2023年度「芝浦工業大学柏高等学校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】は雑問集合問題である＜6分＞。
平方根の計算、2次方程式、数の性質、平面図形(角度)が出題されている。完答を目指したい。
【大問２】は関数の問題である＜11分＞。
直線と放物線に関連した融合問題。事前の準備をしっかり行っておくこと。
【大問３】は雑問集合問題である＜8分＞。
データ活用、場合の数・確率が出題されている。
【大問４】は円と三角形に関連した平面図形の問題＜11分＞。
円における中心角と円周角、三平方の定理、相似など平面図形の原理を活用する。
【大問５】は空間図形(正四角錐と球)の問題＜14分＞。
本問も平面図形の相似、辺の比等を当てはめる。
【大問１】小問集合問題
- 時間配分：6分
（１）は数の計算(平方根の計算)である＜1分＞。
分配法則を使用し正確に計算すること。
（２）は2次方程式の解の利用問題である＜1分＞。
ax2＋3bx－10ｂ＝０にｘ＝－10を代入する。Ａ×Ｄ＝Ｂ×ＣはＡ：Ｂ＝Ｃ：Ｄであることを活用する。
（３）は数の性質に関する問題である＜2分＞。
平方根の中が平方数になるように自然数を考える。
（４）は平面図形における角度を求める問題である＜2分＞。
△ＢＣＤにおける内角・外角の関係性などを使う。
【大問２】1次関数と２次関数に関する融合問題
- 時間配分：11分
（１）は座標を求める問題である＜2分＞。
ＢはＣＤの中点である。また、Ｂはｙ＝ｘ2とｙ＝ｘ＋6の交点である。Ｄのｙ座標は０である。
（２）は直線の式を求める問題である＜3分＞。
（１）よりＡ(－2、4)であり、Ｄの座標も判明しているのでＡＤの直線の式は求められる。
（３）は座標を求める問題である＜3分＞。
Ｄは（２）で求めたＡＤの式とｙ＝ｘ2の交点のうちＡではない点である。
（４）は面積比を求める問題である＜3分＞。
△ＡＣＥと△ＢＣＥの面積比を求める問題である。△ＡＣＥ＝
△ＤＣＥ、△ＢＣＥ＝
△ＤＣＥであることを導くこと。
【大問３】雑問集合問題
- 時間配分：8分
（１） データ活用の問題である＜3分＞。
箱ひげ図の特性を確実に理解しておくこと。最小値、第1四分位数、平均値などの用語の意味を正確に押さえておくこと。
（２） 場合の数と確率を求める問題である＜5分＞。
１から6まで書かれたカードが6枚あり、同時に3枚のカードを取り出し数字の大きい順に百の位、十の位、一の位とするときの設定された条件の場合の数と確率を求める問題である。
【大問４】平面図形(円と三角形)に関する問題
- 時間配分：11分
（１）辺の長さを求める問題である＜2分＞。
弧ＡＣに関する中心角と円周角の関係より、△ＯＡＣは二等辺三角形であり、ＯからＡＣに垂線ＯＨを引くと△ＡＯＨは辺の比が１：２：√3の直角三角形になる。
（２）辺の長さを求める問題である＜3分＞。
ＡからＢＣに垂線ＡＩを引くと△ＡＢＩは辺の比が１：２：√3の直角三角形になる。また、△ＡＩＣに三平方の定理をあてはめる。
（３）辺の長さを求める問題である＜3分＞。
ＣＤ＝ＡＣ＝10√3となるので、ＩＤ＝ＩＣ＋ＣＤ＝6√3＋10√3＝16√3となる。また、△ＡＩＤに三平方の定理をあてはめる。
（４）辺の長さを求める問題である＜3分＞。
Ｂ側の弧ＡＣに対する中心角と円周角の関係より、∠ＣＥＤ＝60°となる。よって、∠ＡＢＤ＝∠ＣＥＤ＝60°、∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＥであるので、△ＡＢＤ∽△ＣＥＤとなる。
【大問５】空間図形（正四角錐と球）に関する問題
- 時間配分：14分
（１）面積を求める問題である＜2分＞。
Ｐ－ＡＢＣＤは正四角錐であるので各側面は二等辺三角形である。ＰからＡＢに垂線ＰＭを引くと△ＰＡＭで三平方の定理をあてはめて問題を考える。
（２）体積を求める問題である＜3分＞。
Ｐから平面ＡＢＣＤに垂線ＰＨを引くと、ＨはＡＢＣＤの対角線の交点となる。△ＡＢＣにおいて中点連結定理をあてはめる。
（３）球の半径を求める問題である＜4分＞。
Ｐ－ＡＢＣＤ＝Ｏ－ＰＡＢ+Ｏ－ＰＢＣ+Ｏ－ＰＣＤ+Ｏ－ＰＤＡ＝384であることより、求める球の半径をｒとしてｒの方程式を解く。
（４）長さを求める問題である＜5分＞。
図形の対称性を利用する。ＯはＰＨ上にあり、ＡＥとＰＯはＡ、Ｂ、Ｅを通る平面(平面ＡＢＥ)上にある。平面ＡＢＥとＰＯの交点ＱはＡＥとＰＯの交点である。ＡＥとＰＨの交点をＩとすると、ＩＥ∥ＡＣとなり、さらに△ＰＩＥ∽△ＰＨＣ、△ＥＩＱ∽△ＡＨＱであることを利用する。
攻略のポイント
標準問題ばかりである。８割以上の得点を目指したい。中学数学の範囲からまんべんなく出題されている。難問はないが、基本問題が主流なので少しの計算ミスでも命取りになる。計算ミスなどの単純なケアレスミスは絶対にしてはならない。したがって、計算力をしっかりと身に付けることを最優先で行わなければならない。その際、解答時間（２分程度）を決めて集中して問題に取り組むようにする。その繰り返しの中で、例えば「２分」という解答時間を感覚的に身に付けることができるのである。
押さえておきたい分野としては、２次方程式（展開・因数分解）、関数（１次関数・２次関数）、平面図形・空間図形（三平方の定理・各種定理）、場合の数・確率である。今後は、資料の活用(データ処理)にも注意したい。