巣鴨高等学校 入試対策
2021年度「巣鴨高等学校の数学」
攻略のための学習方法
単純な計算問題や教科書レベルの問題集の演習だけでは、巣鴨高校の問題には歯が立たないであろう。有理数（整数）と無理数がからんだ計算問題や等式の性質と有理数と無理数の等式が０（ゼロ）になるときの条件設定を使いこなすスキルを高める問題演習を行なうこと。
また、図形問題においても適切に補助線を引くことの練習も積んで欲しい。図形の中に、色々な形の図形が混在している場合に、どの図形に着目して考えを進めるかは極めて重要である。ここで方向性を見誤ると徐々に傷口が広がってゆき、取り返しのつかないことになってしまう。
したがって、平面図形（特に三角形）に関する問題では、折り返し、線対称・点対称、などの状況をしっかり把握することである。その上で、折り返しや対称移動でどのような事柄が言えるのかということをしっかり把握できるかどうかである。把握できるためにも原理を根本から理解することが大事。
数学は一生懸命勉強しているのに、試験の点数が伸びないのはどうしてだろう、と悩んでいる受験生も多いのではないかと思う。そのような受験生の大部分は、数学の解法を「目」だけで追いかけて「理解」した積りになっているケースが多い。
数学を上達させようと思ったならば、必ず「えんぴつ」を持って「紙」に自分の考え方を書き出し、解答に至るプロセスを自分なりに書き出してみることである。途中で矛盾が生じたり、結果が思ってもない数字になったり様々であろう。そのような試行錯誤を経て学力は着実に伸びる。数学的センス（正解を導くための見通しの良さ）も深まることは間違いない。えんぴつで自分の考えを紙の上に書き出してみて初めて、矛盾点や飛躍・論理破綻が見えてくる。難関校の数学の問題は概ねそのような勉強のやり方が効果的であろう。
そのような試行錯誤を繰り返す勉強方法は、人によっては遠回りのような、即効性のない学習方法に聞こえるかもしれない。しかし、目指しているのは「真の学力」である。そして、真の学力とは少々目先（数値であったり図形の向き）を変えられても、微動だにしない「骨太」の学力である。
この学力が身につき、確立されれば少々の問題は即座に解けるはずである。大事なのは、日頃から「自分の頭で考え」、「自分の手で書く」という作業を決して手を抜くことなく、ひた向きに努力し続けることができるかどうかである。
また、巣鴨高校のような上位校における数学の入試問題では、関数は外せないであろう。
放物線に直線が２点で交わっているという事実から、一体何が言えるのか。速攻で、連立方程式を考えその方程式が（ ）２＝０とおけるか否かが、正解か否かを大きく分ける。
また、座標軸平面では、幾何の領域における問題を様々な形で出題可能である。
相似、合同、線分比や回転体の体積等は設問の条件次第で無限と言っていいほど問題は作問可能である。したがって、どのような条件の下で問題が出題されようが、問題の本質をしっかり読み取り、問われている事柄を理解し、あてはめる原理を特定し手際よく解答を導き出すのである。
場合の数・確率も最重要分野である。問題になると順列なのか組合せなのかを混同してしまう受験生も少なくない。コインを使った裏表に関する問題。サイコロを使った目の出方に関する問題等々。基本的な場合の数に関する問題演習はしっかり行い、与えられた条件が、「順列（役割や順番が決められている）」なのか「組合せ（役割・順番が未定である）」であるかをはっきりと間違えなく見極め、正解へたどり着ける学力が本番入試での「場合の数・確率」の完答へつながっていくのである。
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2021年度「巣鴨高等学校の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
大問１は、小問集合問題である＜8分＞。式の値、2次方程式から出題されている。
大問２は、サイコロを用いた確率の問題である＜13分＞。サイコロを投げて出た目の数だけ円周を六等分した点を移動した際にできる三角形に関する確率を求める。
大問３は、２次関数と１次関数の融合問題である＜13分＞。頻出問題である。しっかり事前の準備を行なって欲しい。
大問４は、平面図形(3つの正三角形)に関する問題である＜12分＞。3つの正三角形によってできた図形における面積比などを求める。
大問５は、空間図形（正四面体）の問題である＜14分＞。平面図形に関する定理などをうまく適用できるかがポイント。しっかりしたイメージを持とう。
【大問１】小問集合問題
- 時間配分：8分
３問とも標準問題である。完答したい。
(１)式の値＜2分＞。与式を因数分解すると、４(a2＋b2−c2)( a2−b2＋c2)となる。この式にa＝√41、b＝√2021、c＝2√498を代入する。
(２)式の値＜3分＞。ｘ−2ｙ−z＝０と2x＋y＋z＝０の辺々を加えると、y＝3xとなる。これを2x＋y＋z＝０に代入してz＝−5xを求め与式に代入し式の値を求める。
(３)2次方程式＜3分＞。与えられた2次方程式より解の公式により解を求める。解が整数となるためには√9+aが整数となるときであるので、√の中を条件整理する。
【大問２】サイコロを用いた確率の問題
- 時間配分：13分
サイコロを投げて出た目によって、円周を六等分する点を移動する場合にできる三角形に関する確率の問題である。与えられた条件を理解し、移動する点Pがどのような動きをするかを正確に把握すること。
(１)正三角形になる確率を求める問題＜3分＞。2回サイコロを投げると目の出方は全部で36通り。正三角形ができるのは一つ置きに点Pが移動したときである。
(２)直角三角形になる確率を求める問題＜3分＞。円に内接する三角形が直角三角形になるということは、斜辺を円の直径とし90°はその直径(180°)に対する円周角として考える。
(３)30°の内角をもつ三角形となる確率を求める問題＜3分＞。内角として30°をもつということは、この30°が円周角となっていることであり、六等分した一つの弧に対する円周角となっている。
(４)条件にあるA、B、Cが三角形の3頂点となる確率を求める問題＜4分＞。点A の位置を決めると点B の位置の選び方は5通り、点A、Bの位置を決めると点Cの位置の選び方は4通りとなる。
【大問３】関数(放物線と直線)に関する問題
- 時間配分：13分
この類の問題は頻出である。事前にあらゆるパターンの関数に関する演習問題を行っておくことが必要である。
(１)交点の座標を求める問題＜2分＞。ｃ＝ 
をy＝−2x＋cに代入し、ｙ＝−
x２と連立方程式を解き点B のx座標を求める。
(２)交点の座標を求める問題＜４分＞。点Aからy軸に垂線を引きできる直角三角形は△DOCと相似になることより、辺の長さの比に関する比例式を作り解法を積み上げてゆく。
(３)座標・面積比を求める問題＜７分＞。△OCA、△OAD、△ODBにおいて、点A、点Bよりx軸に垂線を引き直角三角形を作り、さらに相似な三角形を探しだし対応する辺の比を求めてゆく。
【大問４】平面図形(三角形)に関する問題
- 時間配分：12分
正三角形であるということより内角は60°になるので、点PはCを中心としたときの円周上にあり、Bを中心としたときの円周上にある。
（１）三角形の面積比を求める問題＜5分＞。与えられた平面図形の中に合同、相似の考えを当てはめ考えを進めること。
（２）点が描く図や長さを求める問題＜7分＞。点Pが△LMNの周上を動いて一周するときに、点Dは点Bを中心として動き、点Eは点Cを中心として動くのである。どのような動き方をするかはD、Eそれぞれ異なるのでしっかりイメージすること。
【大問５】正四面体に関する空間図形の問題
- 時間配分：14分
(１)面積を求める問題＜3分＞。△BCDが正三角形であるので、頂点Bから垂線を引くと左右に直角三角形ができる。この直角三角形において三平方の定理をあてはめる。
(２)立体の体積を求める問題＜4分＞。立方体の体積から4つの頂点にある三角錐の体積を引くことにより本問の立体図形の体積が求めることができる。
(３)面積と体積を求める問題＜7分＞。図形の中に平行線と相似な三角形との関連性をあてはめられるように図形を十分注視する。対応する辺の比を求め問題を解くうえで必要な辺の長さを出す。少々複雑ではあるが、与えられた図形の中に平面図形の原理(平行線と直線で得られる辺の長さの比、合同、相似、三平方の定理など)が当てはめられる図形を見出すことができるかがポイントである。
攻略のポイント
数量編、図形編とも標準問題以上の演習をしっかり行うことが必要である。特に、数量編では、方程式や連立方程式、式の計算など基本的計算力は完璧に仕上げること。
また、２次関数と１次関数の融合問題は、必ず出題されると認識し標準からハイレベルの問題をできるだけ多く演習して欲しい。その際に、座標軸上に平面図形の考え方（三平方の定理や円に関連する諸定理）を自在に当てはめられるようにしておくこと。
図形編では、やはり空間図形に関する問題演習、特に、三平方の定理をどのような条件においても応用できるようにすることが大事である。
確率の問題も重要である。色々な条件設定の確率問題に挑戦してみること。