早稲田大学本庄高等学院 入試対策
2020年度「早稲田大学本庄高等学院の数学」
攻略のための学習方法
出題された問題を概観すると、難問の類はない。しかしながら、かなりの割合で複数分野の融合問題が目立つ。例えば、関数の問題に平面図形の原理を当てはめて解かせたり、場合の数の問題に方程式の概念を基本にしたりするような問題である。そのような問題に対する対策として、何を行えばよいのだろうか。
結論から言えば、中学数学の重要分野（式の計算、２次方程式（解の公式）、平方根、関数（１次・２次関数）、確率、平面図形（三平方の定理、相似・合同）、空間図形）についての徹底した学習を通した知識の習得と、各分野における原理・定理のさらなる深い理解と応用力である。そのような分野横断的な学習と解法の習得が、難易度の高い高校の数学における合格点を獲得するには不可欠な要素である。そのような前提に立って、受験数学の学習上で特に留意する学習事項について以下に見ていこう。
-
公式は何のために存在するのか
公式はとても便利で、問題を解く上で非常に有効であることは論を待たない。しかしながら、公式は問題を自分の頭で考え、正解へ向かう自分の思考を正確に導く最良な道具であろうが、一度立ち止まって考えて欲しい。どのようにして、「公式」は導かれてきたのであるかを。この公式を導く「プロセス」そのものが、受験生自身の「数学的思考力」を向上させるうえで必要不可欠なものであり、数学の問題を俯瞰的に見渡すことができる条件になるのである。したがって、公式を何も考えずに「機械的」に使用するのではなく、初めて学習する公式に関しては一度自力で「なんでこのような公式の形になるのか」ということを解明することを勧める。その際には、言うまでもないが、実際に鉛筆をもって紙に自分の考えを書くという作業を怠ってはならない。
-
設問の本質的な部分に関するイメージを培おう
-
図形、特に空間図形に関する問題において必要なことは、与えられた問題の内容を如何に手際よく的確に「イメージ化できるか否か」である。図形の問題は、手を動かさないでジッと図形（空間図形）を見つめていても、解法への適正な解法は浮かんでこないのである。そこに「イメージ化」する必要性があり、その根底には「イメージ力」があるのである。それでは、イメージ力とは何か。一言でいうならば「豊かな発想力」である。このような「発想力」を豊かにするために、受験生にとって行わなければならない必須事項は、様々な問題を「自分の頭で最後まで考え抜く」ことである。そのような過程の中で、受験生は色々と頭の中で蓄えている「原理・定理」を持ち出し、あてはめようとするのであり、そのような「あてはめ作業」が豊かな発想を生み出す土壌になるのである。大切なことは、安易に解答・解説に頼らず自力で自分の解答（不正解でも構わない）を導き出すことなのである。
志望校への最短距離を
プロ家庭教師相談
2020年度「早稲田大学本庄高等学院の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】独立小問問題＜10分＞。連立方程式、関数（座標）、式の値（数の性質）から出題されている。
【大問２】平面図形（正方形）に関する問題＜14分＞。正方形に内接する円に関して、辺の長さや面積を求める問題である。
【大問３】新傾向問題＜14分＞。1次方程式、2次方程式の解と式の値を関連させた問題である。
【大問４】場合の数に関する問題＜12分＞。さいころを用いた場合の数の問題である。問３は平面座標を用いた問題になっている。
【大問１】独立小問問題
- 時間配分：10分
問１．連立方程式の計算問題＜2分＞。
分数と少数が混在する連立方程式の問題である。分母を最小公倍数で払い、与式を簡単におき直せば標準的な連立方程式の問題になる。
問２．関数（座標）に関する問題＜3分＞。
与えられた円の半径＝１で、ＡＢ＝１であることより、△ＡＢＰは正三角形になる。次に、PよりＡＢに垂線を下ろすと、3辺の比が 直角三角形となる。点Pのｙ座標を全て求めよ、ということは点Ｐがｙ＝３の直線の上と下の２ヶ所に出てくるということである。
問３．式の値（数の性質）に関する問題＜５分＞。
（１）2-√2
―――=√2-1 となることに気づくと与式は極めて単純な式に変形できる。
√2
そのような変形後の計算結果は、ａ＝－１＋√7 となるのでａ＋１＝ √7となる。
【大問２】平面図形（正方形）に関する問題
- 時間配分：14分
問１．特定に辺の長さを求める問題＜3分＞。
△ROS≡△EOSなので、∠ROS=∠EOSとなり、△ROSは、3辺の長さの比が１：２： √3の直角三角形になる。
問２．五角形の面積を求める問題＜5分＞。
五角形OPTSRの面積を求める問題であり、△ＴＱＳは、3辺の長さの比が１：２： √3の直角三角形になることよりＴＱの辺の長さを求め、Ｓ1の面積を求める。
問３．指定された面積（斜線部）を求める問題＜４分＞。
考え方としては、ＯＧＡＥは正方形であるので、このＯＧＡＥより扇形ＯＧＰと四角形ＯＰＴＥの面積を引けばＳ2の面積が求められる。
【大問３】1次・2次方程式に関する問題（新傾向）
- 時間配分：14分
新傾向の問題である。与えられた条件は、
ａ≧０のときＤ(ａ)＝ａ
ａ＜０のときＤ(ａ)＝－ａ
であるので、問２・問３では場合分けを的確に行わなければならない。
問１．式の値を求める問題＜3分＞。
設問の条件を明確に理解していれば正解できる。４√3－７＜０となるので、－４√3＋７となる。
問２．1次方程式の応用問題＜5分＞。
与えられた条件に基づき、4ｘ－３について場合分けを行なう。４ｘ－３≧０と４ｘ－３＜０の場合にわけてｘの値を求める。
問３．２次方方程式の応用問題＜６分＞。
与えられた条件に基づき、問２と同様に場合分けを行ないｘの値を求める。
本問は新傾向の問題として初見の受験生も多いのではないかと思われる。本問の趣旨としては、高校数学で頻繁に扱われる「場合分け」の考え方を問う問題である。具体的には、原点からの距離を表わす「絶対値」(絶対値記号⇒|a|)において、
a<0 のとき，|a|=−a
0≦a のとき，|a|=a
という演算処理を行なう場合に頻繁に適用する考え方である。
【大問４】場合の数に関する問題
- 時間配分：12分
1つのさいころを5回連続して投げ、出た目を順にx1、x2、x3、x4、x5とした場合の問題である。
問１．場合の数を求める問題＜2分＞。
x1－x2＋x3－x4＋x5＝０かつx2＋x4＝５となる目の出方の場合の数を求める問題である。条件より、x1＋x3＋x5＝５かつx2＋x4＝５となる場合を考える。
問２．場合の数を求める問題＜4分＞。
x1－x2＋x3－x4＋x5＝－７となる目の出方の場合の数を求める問題である。条件を（x1＋x3＋x5）－（x2＋x4）＝－７と変形したうえで、それぞれの（ ）内の和の差が－７となるような組み合わせを考える。
問３．場合の数を求める問題＜6分＞。
点P（x1－x2 ，x3－x4＋x5）とするとき、原点OとＰを結んだ長さが１となる目の出方の場合の数を求める問題である。ＯＰ＝１となる場合は、Ｐ(１，０)、Ｐ(０，１)、Ｐ(－１，０)、Ｐ(０，－１)の場合であることを手掛かりにする。
攻略のポイント
分野的には、計算（連立方程式、式の値）、関数（平面図形との融合問題）、平面図形(平面における原理を応用する問題)、的確な場合分けの問題、場合の数（サイコロの出た目とその和や差を絡めた問題）が出題されている。入試問題を見た受験生は気が付いているだろうが、単純な一分野からの出題ではない。本年度の出題を見ても、場合の数の問題に１次・２次方程式を融合させた問題であったり、関数に平面図形の原理を当てはめて解かせたりする出題傾向である。したがって、合格点を得るためには、単純な一分野のみの学習ではなく、他の分野との融合問題、つまり一つの問題を解く場合に複数の解法をしっかり習得しておくことが必須項目である。