早稲田大学本庄高等学院 入試対策
2021年度「早稲田大学本庄高等学院の数学」
攻略のための学習方法
出題された問題を概観すると、難問の類はない。しかしながら、かなりの割合で複数分野の融合問題が目立つ。例えば、関数の問題に平面図形の原理を当てはめて解かせたり、場合の数の問題に方程式の概念を基本にしたりするような問題である。そのような問題に対する対策として、何を行えばよいのだろうか。結論から言えば、中学数学の重要分野（式の計算、２次方程式（解の公式）、平方根、関数（１次・２次関数）、確率、平面図形（三平方の定理、相似・合同）、空間図形）についての徹底した学習を通した知識の習得と、各分野における原理・定理のさらなる深い理解と応用力である。そのような分野横断的な学習と解法の習得が、難易度の高い高校の数学における合格点を獲得するには不可欠な要素である。そのような前提に立って、受験数学の学習上で特に留意する学習事項について以下に見ていこう。
- ①公式は何のために存在するのか
公式はとても便利で、問題を解く上で非常に有効であることは論を待たない。しかしながら、公式は問題を自分の頭で考え、正解へ向かう自分の思考を正確に導く最良な道具であろうが、一度立ち止まって考えて欲しい。どのようにして、「公式」は導かれてきたのであるかを。この公式を導く「プロセス」そのものが、受験生自身の「数学的思考力」を向上させるうえで必要不可欠なものであり、数学の問題を俯瞰的に見渡すことができる条件になるのである。したがって、公式を何も考えずに「機械的」に使用するのではなく、初めて学習する公式に関しては一度自力で「なんでこのような公式の形になるのか」ということを解明することを勧める。その際には、言うまでもないが、実際に鉛筆をもって紙に自分の考えを書くという作業を怠ってはならない。
- ②設問の本質的な部分に関するイメージを培おう
図形、特に空間図形に関する問題において必要なことは、与えられた問題の内容を如何に手際よく的確に「イメージ化できるか否か」である。図形の問題は、手を動かさないでジッと図形（空間図形）を見つめていても、解法への適正な解法は浮かんでこないのである。そこに「イメージ化」する必要性があり、その根底には「イメージ力」があるのである。それでは、イメージ力とは何か。一言でいうならば「豊かな発想力」である。このような「発想力」を豊かにするために、受験生にとって行わなければならない必須事項は、様々な問題を「自分の頭で最後まで考え抜く」ことである。そのような過程の中で、受験生は色々と頭の中で蓄えている「原理・定理」を持ち出し、あてはめようとするのであり、そのような「あてはめ作業」が豊かな発想を生み出す土壌になるのである。大切なことは、安易に解答・解説に頼らず自力で自分の解答（不正解でも構わない）を導き出すことなのである。
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2021年度「早稲田大学本庄高等学院の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】独立小問問題＜10分＞
因数分解、平方根の計算、式の利用、平面図形(求積)から出題されている。
【大問２】関数（放物線と直線）に関する問題＜11分＞
オーソドックスなグラフの座標に関する問題や座標平面内にできる三角形と四角形の面積が等しくなるときに関する問題である。
【大問３】新傾向問題＜14分＞
座標平面上で点(a，b)がありこの点が( 
a−b，a＋ｂ)に移す【操作】を考え、与えられた条件に合致する座標や値を求める問題である。
【大問４】空間図形(八面体)に関する問題＜15分＞
正三角形と正六角形からなる八面体に関する体積や八面体に内接する球の半径を求める問題である。
【大問１】独立小問問題
- 時間配分：10分
問１．因数分解に関する問題＜2分＞
与式＝4(ｘ＋ｙ)２−(2x＋y＋１)２＝{２(ｘ＋ｙ)}２−(2x＋y＋１)２と変形したうえで、２(ｘ＋ｙ)＝Ａ、(2x＋y＋１)＝Ｂとおき、Ａ２−Ｂ２＝(Ａ＋Ｂ)(Ａ−Ｂ)という2乗の差は和と差の積を利用しよう。
問２．平方根の計算に関する問題＜3分＞
指数の2021乗などに驚かないように。{(
− )2(5＋2
)}2021＝{ (5−2 )( 5＋2 ) }2021＝(25−24)2021＝１である。
問３．式の利用に関する問題＜2分＞
男子と女子の人数費がｍ：ｎなので、男子＝ｍｘ人、女子＝nｘ人と表わすことができる。そのうえで、与えられた条件に適合する式を考える。
問４．平面図形の面積を求める問題＜３分＞
ＡＢ＝ＡＣの等辺三角形があり、辺ＢＣ上に点Ｄをとり、ＢＤ＝a、ＡＤ＝b、ＤＣ＝ｃとした場合(a<c)に、辺ＡＢを１辺とする正方形の面積を求める問題である。辺ＢＣの中点をＭとすると△ＡＤＣにおいて三平方の定理をあてはめる。ＤＭ＝ＤＣ−ＣＭで求めることができる。
【大問２】関数(放物線と直線)に関する問題
- 時間配分：11分
問１．ｋの値を求める問題＜3分＞
点Ａ、Ｄはｙ＝ｘ2上にあるのでＡ(−
，ｋ)、Ｄ ( ，ｋ)とおける。また、点B、Cはｙ＝ｘ２とｙ＝ｋ−１との交点であることから点B、Cの座標を求めよう。
問２．台形ＡＢＣＤの面積を求める問題＜4分＞
ｙ＝ｋ−１とｙ＝ｋはｘ軸に平行である。点Ｄよりｙ＝ｋ−１に垂線ＤＥを引くと、△ＣＤＥは、∠ＡＤＣ＝60°なので平行線における錯角が等しくなるので∠ＤＣＥ＝60°となる。したがって、△ＣＥＤは辺の比が１：２： となる。このことを手掛かりに問題を解いていこう。
問３．ｋの値を求める問題＜４分＞
△ＡＤＣ＝四角形ＡＢＣＤのときにけるｋの値を求める問題である。与えられた平面座標において、ＡＤ＝2 、ＢＣ＝2
であることから始める。また、△ABDと△BCDの底辺をそれぞれAD、BCとすると高さは等しくなり、DE＝１となるので、さらに図形の特性を考察して正解を求めよう。
【大問３】関数に関する問題（新傾向）
- 時間配分：14分
新傾向の問題である。与えられた条件は、
『座標平面上で点(a，b)がありこの点を(a−b，a＋ｂ)に移す【操作】』
という内容である。この【操作】に基づき各設問に的確に答える。条件整理がポイントである。
問１．座標を求める問題＜4分＞
【操作】によって点（−，）に異動する点Pの座標を求める問題である。【操作】の定義にしたがい、 a−b＝−、a＋ｂ＝が成立するので、この連立方程式を解く。
問２．座標を求める問題＜5分＞
x軸上の点で【操作】によってｙ＝
のグラフ上の点に移るすべての点の座標を求める問題である。x軸上の点を(ｍ，０)とおくと、この点は【操作】により(ｍ，ｍ)に移動し、移動した点がｙ＝
上にあるという条件から点のｘ座標、ｙ座標を代入して求める点の座標を求める。
問３．座標と面積を求める問題＜5分＞
a>０とし【操作】によって2点Ｒ、Ｓがそれぞれ点Ａ(０，a)、Ｂ(2a，０)に移動し、かつ△ＯＲＳの面積が 
になるときのaの値を求める問題である。まずは、【操作】によって点Ｒ、Ｓが点Ａ(０，a)、Ｂ(2a，０)に移動することより、前問同様に点Ｒ、Ｓの座標をaを用いて表わすことが可能である。△ＯＲＳの面積を求めるために、点Ｒ、Ｓからｙ軸に垂線ＲＲ’、ＳＳ’を引く。すると△ＯＲＳ＝台形ＲＲ’ ＳＳ’−△ＯＲＲ’−△ＯＳＳ’で求めることができる。
本問は新傾向の問題として初見の受験生も多いのではないかと思われる。しかしながら、本問の本質的な解法は、点の座標を求める際における連立方程式の解の考え方をいかにして的確・迅速に【操作】の定義にしたがって考えられるかがポイントである。また、△ＯＲＳの面積を求める場合も、座標平面上における図形の特性に注目して考察を進めること。
【大問４】空間図形(八面体)に関する問題
- 時間配分：15分
1辺の長さがaである正三角形と正六角形からなる立体(八面体)の関し、体積や内接・外接する球の半径を求める問題である。
問１．立体の体積を求める問題＜4分＞
設問で与えられているのは立体の展開図である。展開図を組み立てて立体のイメージを頭に思い浮かべると、四面体の頂点(4ヶ所)を切り取った立体であることがわかるであろう。したがって、四面体の体積を求め各頂点から切り取られた立体(正四面体×4)の体積を引いて設問の立体が求められる。展開図を組み立て、大きな正四面体から4つの頂点から正四面体を切り取った立体であることに気がつくことがポイントである。
問２．立体に内接する球の半径を求める問題＜5分＞
設問の立体の面に接している球のイメージを描いてみる。その際に、内接する球の中心がどこにあるのか、また前問で考えた大きな正四面体から各頂点を切り取った立体の面に接している状態を正確にとらえることが重要である。ちなみに、この場合の球が接している状態を描いた三角形は辺の長さは、それぞれ３a、
、となり、求める球の半径をrとして、図形の中での辺の長さの比などを活用しrを求める。
問３．立体のすべての点を通る球の半径を求める問題＜6分＞
求める球の中心は前問で考えた立体に内接する球の中心(Ｏ)と同じであることに注目すること。そのうえで、中心Ｏを含む直角三角形(他の1点は立体のいずれかの頂点)を考え三平方の定理をあてはめる。前問同様、立体のイメージを正確に思い浮かべることがポイントとなる。
攻略のポイント
分野的には、計算（因数分解、平方根の計算、式の利用）、関数（放物線と直線）、平面図形、空間図形(体積、内接・外接球の半径を求める)、新傾向（与えられた条件にしたがって点の座標を求める）が出題されている。入試問題を見た受験生は気が付いているだろうが、単純な一分野からの出題ではない問題が散見されるであろう。いわゆる複数の分野の考え方を使って解く問題である。関数における座標平面における点の移動(さいころを投げて出た目で移動条件が指定されている)に関連して特定の場合になる確率を求める問題などである。そのような問題は、受験生の真の「数学的発想力」を確認することが主目的であるため、今後、出題頻度は高まることが十分予想される。したがって、合格点を得るためには、単純な一分野のみの学習ではなく、他の分野との融合問題、つまり一つの問題を解く場合に複数の解法をしっかり習得しておくことが必須項目である。