早稲田大学高等学院 入試対策
2022年度「早稲田大学高等学院の数学」
攻略のための学習方法
難関校攻略のための最重要事項は、問題演習において「最後まで自分の頭で考える」という姿勢である。自分の頭で考えるということは、安易に解答・解説に頼らないということでもある。問題を見て考えて解法への道筋が見えてこないと、すぐに解答・解説を読んでしまうことはないであろうか。この文章を読んでいる受験生の中にも、そのような経験をしたことがあるのではないだろうか。最後まで自分の頭で考え、たとえ正しくなくとも（ある時期まではその方がむしろ好ましいが）自分なりの答えを導くことである。そのようなプロセスを経て得られるものは、最後まで粘り強く問題を解きぬく「持続力」であり、正解を導く上での「的確な発想力」である。頑張っているのだが、なかなか難関校の数学の入試問題に全く手が出ない、という悩みを耳にする場合が多い。そのような受験生に多く見られる傾向としては、上記に述べたような安易に解答に依存してしまって、すぐに模範解答を見てしまうということである。さらに、模範解答を目で見て頭で納得して、決して鉛筆をもって紙に解法を書こうとしない。そのような学習姿勢を繰り返していても、難関校の数学対策には有効ではない。
それでは、以下に難関校の入試数学の受験勉強における重要項目について考えてみよう。
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①数学には「定石」がある
定石とは問題の解答を得るために必ず辿るべき「プロセス」である。つまり、そのプロセスさえ過たず正確に辿れば、必ず正解に辿り着けるということである。それでは、どのようにしたら正解を得るための「定石」を習得することができるのであろうか。ポイントは２つある。１つは、標準問題を何度も反復して演習をすることである。そして、回数を重ねるごとに、解答時間を縮めて瞬発的に問題を解く鍛錬を積むことである。その結果、初見の問題を見た瞬間に「解法のプロセス」が見えてくるのであり、どの方向へ第一歩を踏み出せば良いのかについて正確な判断ができるようになるのである。この「定石」を習得するための作業が、上位校の数学の入試問題を解く上では基礎力となる。その上に高度な問題演習における「正しい見通し」を立てられる「力」が付くのである。
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②導き出すべき「答え」から逆算する
設問で求められる状況があった場合、その状況が言える（成立する）ためには「何が言えなければならないのか」ということを考えるのである。例えば、四角形が円に内接していることを証明したい場合には、それを証明するために何を言えばよいのかを考えることである。そして、そのためには与えられた諸条件より何が言えるのかを考えるのである。つまり、与えられた四角形の∠ＡＢＣ＝９０°であった場合、辺ＡＣは四角形が内接する円の直径になっているということに気づき、発想を膨らませることができるか否かが勝負を分ける。つまり、ゴールから逆算してゆくとそれはスタートに辿り着けるのである。そのような手法をぜひ身に付けて欲しい。
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2022年度「早稲田大学高等学院の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】独立小問問題＜8分＞。数の性質、連立方程式の解の利用に関する問題である。
【大問２】平面図形（二等辺三角形）に関する問題＜11分＞。二等辺三角形における辺の長さを求める問題や回転体の体積を求める問題である。
【大問３】関数（1次関数と2次関数）に関する問題＜13分＞。直線の式を求める問題や点のｘ座標や面積を求める問題である。
【大問４】規則性に関する新傾向問題＜18分＞。新傾向問題である。自然数ｎに関して3ｎを7で割った余りをanで表わすときa1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、……、anと1段目より三角形状に並べた場合の規則性に関する問題である。
【大問１】独立小問問題
- 時間配分：8分
（１）数の性質に関する問題＜3分＞。
2022＝x√y (xy＋yy)を満たす自然数x、yを求める問題である。題意より、 √yも(xy＋yy)もともに自然数になる。よって、ｙは自然数を2乗した数になるので、ｙ＝１、４、…と順に平方数をあてはめてゆく。ｘについても題意に適する数をあてはめてみる。
（２）連立方程式の解の利用に関する問題＜5分＞。
①2つの方程式に、a=5、b=－3、ｃ＝1を代入して連立方程式を解く。
②a=－9を代入し2つの方程式を連立して解いた場合の解が2組以上あるという数学的意味を考える。ともに直線を表わすグラフの式であるので、直線の交点が2組以上あるということは何を意味するかを考える。
③b=cのとき連立方程式が解をもたないということは、2つの直線のグラフが交点を持たない、つまり平行であるということである。
【大問２】平面図形（二等辺三角形）に関する問題
- 時間配分：11分
（１）辺の長さと長さの2乗を求める問題＜5分＞。
①△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形であるので、低角である∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ＝72°となる。ＢＤは∠ＡＢＣの二等分線であるので、∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ＝36°になる。さらに、△ＡＢＣ∽△ＢＣＤであることを活用する。
②ＢよりＤＣに垂線ＢＥを引くと、二等辺三角形の特性よりＥはＤＣの中点となる。よって、△ＢＣＥで三平方の定理をあてはめよう。
（２）回転体の体積を求める問題＜6分＞。
∠ＰＲＱ＝90°であるので、△ＰＱＲをＱＲのまわりを1回転してできる立体の体積を求める問題である。(１)で考えた△ＢＡＥと本問の△ＰＱＲは2角相等であるので△ＢＡＥ∽△ＰＱＲとなることを手掛かりに対応する辺の比より回転体の体積を求める。
【大問３】関数(1次関数と2次関数)に関する問題
- 時間配分：13分
（１）直線の式を求める問題＜2分＞。
y＝x2上にAが存在しそのｘ座標が2であるのでＡ(2、4)となる。よって、ＯＡの直線の式は、ｙ＝2ｘである。また、ＯＡ⊥ＯＢなので、直線の垂直条件よりＯＢの直線の傾きは− 1/2となりOBの直線の式が判明しy＝x2との交点を求めるとBの座標が求められる。よって、Ａ、Ｂの座標が求められたので直線ＡＢの式が導き出される。
（２）三角形の面積が等しくなる場合の点の座標を求める問題＜5分＞。
△ＯＡＢ＝△ＡＢＣとなるようなy＝x2上の原点以外のCの全ての座標を求める問題である。求めるCは3つある。ＢＡ∥ＯＣより等積変形の考え方をあてはめる。
（３）長さと面積を求める問題＜6分＞。
①(２)で求めた最小のもの(最小点とする)は第2象限(ｘ座標の符号がマイナス、ｙ座標の符号がプラス)にあり、最大のものは最小点を通る直線とy＝x2との交点のうち第1象限(ｘ座標、ｙ座標の符号がともにプラス)にある。また、ＡＩ⊥ＢＩとなるＩを決め△ＡＢＩにおいて三平方の定理よりＡＢの長さが求められる。また、等積変形の考え方より△ＡＢＤ＝△ＡＢＰとなる。△ＡＢＰ＝ 1/2 ×ＡＢ×ＰＨ＝ 4/5 よりＰＨを求めることができる。
②四角形ＡＢＰＱの面積を求める問題である。ＢＡ∥ＰＱであるので△ＡＰＱ＝△ＥＰＱとなることをベースに考える。
【大問４】規則性に関する新傾向問題
- 時間配分：18分
（１）与えられた条件に合致する値を求める問題＜1分＞。
自然数ｎに関して3ｎを7で割った余りをanで表わすとき、a8、a9、a10の値をそれぞれ求める。計算ミスのないように落ち着いて処理すること。
（２）与えられた条件に合致する値を求める問題＜4分＞。
anはｎ＝1、2、3、4、5，6、……を計算すると、3、2、6、4、5、1の6つの数字の周期をなしていることが分かる。本問は2022段目に並ぶ数のうち左隅にある数を求めるので、規則性を発見して求める数を出す。6つの数字の周期性に着目すること。
(３) 与えられた条件に合致する値を求める問題＜6分＞。
a1からamまでのｍ個の数の和をa1＋a2＋a3＋……＋amとするとき、この和が2022より大きくなる場合のｍの値を求める問題である。本問の周期性は、3、2、6、4、5、1の6つの数字の繰り返しであり、その和は3＋2＋6＋4＋5＋1＝21である。さらに、2022÷21＝96あまり6となるので、上記周期が96回繰り返されることを手掛かりに取り組むこと。
（４）与えられた条件に合致する値を求める問題＜7分＞。
a2022を含む段に並ぶすべての数の和を求める問題である。1段目からｋ段目までに並ぶ数の個数は1＋2＋3＋4＋……＋(k－1)＋k＝ k(K+1)/2 個となる。これが2022以上になる最小のｋを求めることから考えを始める。
攻略のポイント
押さえておきたい分野的は、計算（方程式、式の値、整数の性質）、関数（１次関数・２次関数）、平面図形と立体図形、場合の数、資料の整理(標本調査)の分野である。ただし、合格点を取るためには、これらの分野の単純な演習スキルだけでは歯が立たないであろう。そのようなスキル演習が必要であり、問題解法の基礎になることは言うまでもない。大切なことは、そのスキル演習からさらに一歩踏み込み、数学的な原理理解（公式的発想）の質を深めることである。つまり、自分で公式の原理を理解し、公式が出てくるまでの解法のプロセスをしっかり把握した上で、自身で公式を導き出せるようにすることがベストである。小手先のスキル演習力の向上だけに目標を置くのではなく、問題の本質的な理解をベースに論理的に思考できる数学力をつけることが必要である。