早稲田実業学校高等部 入試対策
2024年度「早稲田実業学校高等部の数学」
攻略のための学習方法
上位校である難関校の数学の問題において、合格点を勝ち取るための学習法を一緒に考えてみたい。
難関校の数学の問題を攻略するためには、単純な問題演習を繰り返すだけでは十分ではない。なぜならば、単純な問題演習は「機械的スキル」であり、その解法プロセスに一切の数学的発想が反映さないばかりか、受験生本人がどれほどの柔軟な数学的発想が可能であるのかが判明しないのである。それでは、「柔軟な数学的発想」とは何か。一言でいえば、それは「原理・原則をいかに柔軟にかつ適切に問題に当てはめることができる発想」である。単に問題を解いて正解を導くというだけでは、難関校の数学における合格答案作成は困難である。なぜならば、単純なスキル演習は難関校の受験生にとっては、「正解を得ること」が当然であるから、そのような問題では受験生閑野「差」がつかないのである。
それでは、受験生間に差が出る本当の学力とは何か。それは、自分の頭で最後まで問題を考えぬくことができる「力」のことであり、この「力」は問題の本質を見抜き、どの数学的原理（公式）をあてはめるかを瞬時に見抜くことができる「力」である。それでは、そのような力を身に付けるには、どのような学習を日頃から心掛けなければならないのだろうか。
以下に何点か列挙してみたい。
① 公式を自分で導こう
公式は、具体的な事象の中から普遍的な原理を導き出し、それを道具として使いこなして問題を解いているのである。したがって、上位校である難関校における数学の問題を攻略するためには、数学的高度な思考力を求められるのである。この思考力とは、公式を導き出す際に適用する発想である。受験生の皆さんには、是非とも自力で公式を導き出して欲しいと思う。そのような作業の中で、様々な数学的発想が入試問題を解法するうえで生かされてくるのである。初めは、時間がかかり、最終的な方向性も見出されないまま「袋小路」にさまようかも知れないが、そのような試行錯誤こそが真の学力を鍛えるうえでは不可欠な要素であることを忘れないで欲しい。
② 図形（平面図形・立体図形）などにおけるイメージを培おう
関数などの数量辺の問題と異なり、平面図形や立体図形の問題における解法のポイントは「イメージ作り」である。また、図形の問題にとって重要な手法は「補助線」を活用することである。ただし、どこに適正に補助線を引くかが正解を導く上での分かれ道である。また、図形の問題においては「定理・原理」をしっかりあてはめられなければならない。例えば、三平方の定理の活用のスキルを知らなければ、何時間もその問題と「にらめっこ」をしていても問題の解法へは辿り着けない。したがって、図形問題（幾何）においては、様々な定理をしっかり覚えることであり、その定理がどの様な条件のもとで成立し得るのかを理解し、入試問題にどのように当てはめられるのかを徹底して研究することである。
以上、高度な数学の問題を攻略するための最低限の方法を列挙したが、大切なことは安易に解答・解説を見ずに、どんなに苦しくとも「自分の頭で考え抜くこと」が極めて重要である。
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2024年度「早稲田実業学校高等部の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】独立小問問題＜10分＞。
数の性質、数の計算、データ活用、場合の数、関数(座標)に関す問題。
【大問２】独立小問問題＜14分＞。
新傾向問題。数の性質、連立方程式の応用に関する問題。
【大問３】関数(1次関数と2次関数)に関する問題＜10分＞。
点の座標を求める問題、比例定数を求める問題。
【大問４】平面図形(扇形と三角形)に関する問題＜12分＞。
辺の長さを三平方の定理や平面図形における定理を活用する。
【大問５】空間図形(正八面体)に関する問題＜14分＞。
切り口の長さ、体積に関する問題。
【大問１】独立小問問題
- 時間配分：10分
（１）数の性質(素因数分解)に関する問題＜2分＞。
42025＝205×205＝2052であるので、42024＝42025−1＝2052−1２として素因数分解する。
（２）数の計算(方程式の解)に関する問題＜2分＞。
3x2−4x−２＝０の2解がａ、ｂであるので与えられた方程式に代入する。
（３）データ活用(度数)に関する問題＜2分＞。
階級における度数などの考え方をしっかり把握しておくこと。さらに、累積相対度数などについてもその考え方の原理を理解しておくことも重要である。
（４）場合の数に関する問題＜2分＞。
1、2、3、4のカードで条件に適する式を考えた場合に、計算結果が3の倍数になる場合の数を求める問題である。3の倍数になる条件を考える。
（５）関数(座標)に関する問題＜2分＞。
ＡＰ＋ＢＰの長さが最短になるのは、ｙ＝ｘに関して対称なＡ’を考えてＡ’Ｂの距離を求める。
【大問２】独立小問問題
- 時間配分：14分
（１）数の性質に関する問題＜8分＞。
先生と生徒の会話は正六角形に関する内容である。正ｎ角形に関する一つの内角を求める公式などを確実に覚えておくことが重要である。
（２）連立方程式に関する応用問題＜6分＞。
太郎の速さをｘｍ／分とし、太郎と次郎がすれ違うまでの時間をｙ分として、ｘとｙに関する連立方程式を立てる。
【大問３】関数(1次関数と2次関数)に関する問題
- 時間配分：10分
（１）座標を求める問題＜3分＞。
Ａ、Ｂはｙ＝aｘ２(a>0)上にあり、それぞれのｘ座標はａ、ｔであることより問題を考える。
（２）ｔ、aの値を求める問題＜7分＞。
△ＯＡＢと△ＯＡＢの相似比は３：４である。また、Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃが同一円周上にあることより、ＯＡを直径とする円周上の点となる。与えられた条件から三平方の定理などの平面図形における基本原理を正確にあてはめる。
【大問４】平面図形(扇形と三角形)に関する問題
- 時間配分：12分
（１）辺の長さを求める問題＜2分＞。
扇形ＯＡＢの半径をｒとすると面積は、πｒ2×
＝πよりｒをもとめる。
（２）面積を求める問題＜3分＞。
△ＯＡＢ＜扇形ＯＡＢであることを手掛かりに考える。ＢよりＯＡに垂線ＢＪを引くと△ＢＯＪは、三辺比が１：２：√3の直角三角形となる。
（３）辺の長さの2乗を求める問題＜3分＞。
△ＯＡＢＯＡ＝ＯＢ＝2√3の二等辺三角形である。また、ＨからＯＡに垂線ＨＫを引くとＨＫ∥ＢＪとなり、ＡＫ＝ＪＫとなる。さらに、△ＢＯＪは、三辺比が１：２：√3の直角三角形であることより考えをまとめる。△ＯＫＨに三平方の定理をあてはめる。
（４）面積を求める問題＜4分＞。
扇形ＯＡＢ＜△ＯＣＤであるのでπ＜△ＯＣＤとなる。ＯＩ⊥ＡＢであり、ＯＩ⊥ＣＤであるのでＡＢ∥ＣＤとなる。よって、△ＯＡＢ∽△ＯＣＤであり相似比はＯＨ：ＯＩであるので、△ＯＡＢ：△ＯＣＤ＝ＯＨ２：ＯＩ２となる。
【大問５】空間図形(正八面体)に関する問題
- 時間配分：14分
（１）切り口の形、辺の長さ求める問題＜3分＞。
正八面体の特性により、ＡＦ、ＢＤ、ＣＥは一点で交わりその交点をＯとすると、Ｐ、Ｂ、Ｄを通る平面はＯを通る。この平面（Ｘとする）とＣＦの交点をＲとし、ＰからＣＦに垂線ＰＨを引くと△ＰＨＲに三平方の定理をあてはめる。
（２）面積を求める問題＜5分＞。
ＰＲＦＱは平行四辺形となりＰＲ∥ＱＦである。Ｑを通りＸに平行な平面とＢＥ、ＤＥの交点をそれぞれＳ、Ｔとする。さらに、ＱＦ、ＳＴ、ＣＥの交点をＵとすると△ＱＵＥ∽△ＰＯＥとなる。また、ＢＣＤＥは正方形であり、△ＢＣＤは直角二等辺三角形であることからＢＤ＝√2ＢＣ＝6√2となる。
（３）体積を求める問題＜6分＞。
Ｘは正八面体の体積を2等分するので、アの体積は正八面体の体積の
となる。立体図形に平面図形の原理をあてはめると、A-ＢＣＤＥ＝ＢＣＤＥ×ＯＡ×
である。よって、ア＝36√2である。また、ＱＳＦＴＥはＱ-ＥＳＴ+Ｆ-ＥＳＴと考えられる。さらに、ＱからＢＣＤＥに垂線ＱＩを引くと△ＱＩＥ∽△ＡＯＥとなる。最終的に求める体積は、ア−ＱＳＦＴＥとなる。
攻略ポイント
分野的には、計算（因数分解、方程式、式の値）、関数（１次関数、２次関数）、確率、平面図形、立体図形といった分野について、しっかり練習をしておく必要がある。さらに、これらの分野の単純な演習スキルだけではなく、根本的な理解（原理的理解）に基づくより本質的な数学的発想をベースに問題へのアプローチができるような訓練が必要である。そのための一つの対策としては、「公式の原理的理解」という方法がある。つまり、自分で公式の原理を理解し、公式が導かれるまでの解法のプロセスをしっかり把握し、自身で公式を導き出せるようにすることである。また、今後出題される可能性が高いと思われる資料の整理（統計学の基礎）も手を抜くことなく、用語の定義の理解も含めて演習を重ねて欲しい。