早稲田実業学校高等部 入試対策
2021年度「早稲田実業学校高等部の数学」
攻略のための学習方法
上位校である難関校の数学の問題において、合格点を勝ち取るための学習法を一緒に考えてみたい。
難関校の数学の問題を攻略するためには、単純な問題演習を繰り返すだけでは十分ではない。なぜならば、単純な問題演習は「機械的スキル」であり、その解法プロセスに一切の数学的発想が反映さないばかりか、受験生本人がどれほどの柔軟な数学的発想が可能であるのかが判明しないのである。それでは、「柔軟な数学的発想」とは何か。一言でいえば、それは「原理・原則をいかに柔軟にかつ適切に問題に当てはめることができる発想」である。単に問題を解いて正解を導くというだけでは、難関校の数学における合格答案作成は困難である。なぜならば、単純なスキル演習は難関校の受験生にとっては、「正解を得ること」が当然であるから、そのような問題では受験生閑野「差」がつかないのである。
それでは、受験生間に差が出る本当の学力とは何か。それは、自分の頭で最後まで問題を考えぬことができる「力」のことであり、この「力」は問題の本質を見抜き、どの数学的原理（公式）をあてはめるかを瞬時に見抜くことができる「力」である。それでは、そのような力を身に付けるには、どのような学習を日頃から心掛けなければならないのだろうか。以下に何点か列挙してみたい。
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公式を自分で導こう
公式は、具体的な事象の中から普遍的な原理を導き出し、それを道具として使いこなして問題を解いているのである。したがって、上位校である難関校における数学の問題を攻略するためには、数学的高度な思考力を求められるのである。この思考力とは、公式を導き出す際に適用する発想である。受験生の皆さんには、是非とも自力で公式を導き出して欲しいと思う。そのような作業の中で、様々な数学的発想が入試問題を解法するうえで生かされてくるのである。初めは、時間がかかり、最終的な方向性も見出されないまま「袋小路」にさまようかも知れないが、そのような試行錯誤こそが真の学力を鍛えるうえでは不可欠な要素であることを忘れないで欲しい。
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図形（平面図形・立体図形）などにおけるイメージを培おう
関数などの数量辺の問題と異なり、平面図形や立体図形の問題における解法のポイントは「イメージ作り」である。また、図形の問題にとって重要な手法は「補助線」を活用することである。ただし、どこに適正に補助線を引くかが正解を導く上での分かれ道である。また、図形の問題においては「定理・原理」をしっかりあてはめられなければならない。例えば、三平方の定理の活用のスキルを知らなければ、何時間もその問題と「にらめっこ」をしていても問題の解法へは辿り着けない。したがって、図形問題（幾何）においては、様々な定理をしっかり覚えることであり、その定理がどの様な条件のもとで成立し得るのかを理解し、入試問題にどのように当てはめられるのかを徹底して研究することである。
以上、高度な数学の問題を攻略するための最低限の方法を列挙したが、大切なことは安易に解答・解説を見ずに、どんなに苦しくとも「自分の頭で考え抜くこと」が極めて重要である。
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2021年度「早稲田実業学校高等部の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】独立小問問題＜5分＞。式の値、数の性質、関数(比例定数)、資料の活用の小問題。
【大問２】独立小問問題＜11分＞。平面図形(論証)、2次方程式(解を求める原理的理解)の小問題。
【大問３】さいころを用いた確率に関する応用問題＜14分＞。さいころを投げて出た目と正六角形の頂点を出た目の数だけ動いた場合において、与えられた条件に適合する確率を求める問題。
【大問４】空間図形(十四面体)に関する問題＜14分＞。空間図形における長さ、面積を三平方の定理等を用いて求める問題。
【大問５】関数（直線と放物線）に関する問題＜16分＞。座標平面に三平方の定理などの平面図形における原理を適切に当てはめる問題。
【大問１】独立小問問題
- 時間配分：5分
（１）式の値に関する問題＜1分＞。
与式を正確に整理したうえでa＝2、b＝−1/3を代入する。
（２）数の性質に関する問題＜1分＞。
√の中を2乗×1乗の形になおし、1乗の数に注目する。
（３）関数(比例定数)に関する問題＜1分＞。
与えられた2つの関数におけるx＝2から4に変化した場合の変化の割合(＝グラフの傾き)を求め、その2つの変化の割合が一致することよりaの値を求める。
（４）資料の活用(中央値)に関する問題＜2分＞。
中央値の定義をしっかり覚えておくこと。本問に関連し、資料の活用・整理は今後出題率がアップすることが考えられるので、この分野をしっかり演習をしておくこと。
【大問２】独立小問問題
- 時間配分：11分
（１）図形(論証)の問題＜8分＞。
①同じ弧に対する円周角であることから、∠GAE＝∠EDFとなる。また、対頂角より、∠GEA＝∠CEFである。これらのことより、△AGEが二等辺三角形になるための条件を考える。
②前問で△AGEが二等辺三角形であることが判明したことと、点GよりAEに垂線GHを引くと、AH＝HEとなる。また、BE＝ｘとすると、DE=6−ｘとなり△ABE、△ADEにおいて三平方の定理をあてはめる。最終的に、△ABE∽△DCEを活用する。
（２）2次方程式の解を求める問題＜3分＞。
x2＋ax−1＝0の解を解の公式を使わずに求める。左辺を( )２の形にしたうえで、右辺はその平方根になることを利用する。ちなみに、( )２＝A(A:実数)と変形することを「平方完成」といい、正式には高校1年生の2次関数の単元で学習する。
【大問３】さいころを用いた確率に関する問題
- 時間配分：14分
（１）さいころを3回投げた場合の条件に合致する確率を求める問題＜4分＞。
さいころを3回投げた場合の目の出方は、6×6×6＝216通りである。正六角形の各頂点の上を与えられた「規則」にしたがって点Pが動いた場合に点Aにある確率を求める。規則に従い3回で点Aに点Pがくる場合を考える。
（２）さいころを3回投げた場合の条件に合致する確率を求める問題＜5分＞。
さいころを3回投げて点Pが点Dにある確率を求める。前問の考え方をベースに考える。
（３）さいころを７回投げた場合の条件に合致する確率を求める問題＜5分＞。
さいころを7回投げた場合の目の出方は、６７となる。条件は、「Pがすべての点を通ってAに戻る確率」である。条件に合致する具体例を一覧性のある表などにまとめるとよいであろう。
【大問４】空間図形（十四面体）に関する問題
- 時間配分：14分
（１）2点間の長さを求める問題＜4分＞。
設問の十四面体において、求める2点(頂点BとL)は対象の位置関係にあることを利用して考える。
（２）切り口の面積に関する問題＜4分＞。
頂点B、頂点L、辺EFの中点を通る平面で切った場合の切り口の形は、六角形となる。平面的に切り口の六角形を考え、三平方の定理をあてはめる。そのためにも直角三角形を見つけ出すこと。
（３）平行な2つの面の距離を求める問題＜6分＞。
面ABCと面JKLは平行である。(２)で求めた切り口は面ABC、面JKLに垂直になることを利用してアプローチすること。
【大問５】関数（直線と放物線）に関する問題
- 時間配分：16分
（１）座標を求める問題＜4分＞。
条件より、OA＝OBとなる。点Bからx軸に垂線BHを引き△OBHにおいて、三平方の定理をあてはめる。
（２）座標を求める問題＜6分＞。
条件より、OA＝OB、AC＝BCであることより、線分OCは線分ABの垂直二等分線でありその交点をMとすると、Mは線分ABの中点である。OMの式を求め放物線ｙ＝ 3/40x2との交点Cの座標を求める。
（３）座標を求める問題＜6分＞。
直線OCは線分ABの垂直二等分線であるので与えられた円の中心をPとすると、点Pは直線OC 状に存在することになる。点Dは、直線ｙ＝ 3/4ｘ上にあることを手掛かりに取り組もう。
攻略のポイント
分野的には、計算（因数分解、方程式、式の値）、関数（１次関数、２次関数）、確率、平面図形、立体図形といった分野について、しっかり練習をしておく必要がある。さらに、これらの分野の単純な演習スキルだけではなく、根本的な理解（原理的理解）に基づくより本質的な数学的発想に基づく問題へのアプローチができるような訓練が必要である。そのための一つの対策としては、「公式の原理的理解」という方法がある。つまり、自分で公式の原理を理解し、公式が出てくるまでの解法のプロセスをしっかり把握し、自身で公式を導き出せるようにすることである。また、今後出題される可能性が高いと思われる資料の整理（統計学の基礎）も手を抜くことなく、用語の定義の理解も含めて演習を重ねて欲しい。