早稲田実業学校高等部 入試対策
2022年度「早稲田実業学校高等部の数学」
攻略のための学習方法
難関校の数学の問題において、合格点を勝ち取るための学習法を一緒に考えてみたい。
難関校の数学の問題を攻略するためには、単純な問題演習を繰り返すだけでは十分ではない。なぜならば、単純な問題演習は「機械的スキル」であり、その解法プロセスに一切の数学的発想が反映されないばかりか、受験生本人がどれほどの柔軟な数学的発想が可能であるのかが判明しないのである。それでは、「柔軟な数学的発想」とは何か。一言でいえば、それは「原理・原則を柔軟にかつ適切に問題に当てはめることができる発想」である。単に問題を解いて正解を導くというだけでは、難関校の数学における合格答案作成は困難である。なぜならば、単純なスキル演習は難関校の受験生にとっては、「正解を得ること」が当然であるから、そのような問題では受験生間の「差」がつかないのである。
それでは、受験生間に差が出る本当の学力とは何か。それは、自分の頭で最後まで問題を考えぬことができる「力」のことであり、この「力」は問題の本質を見抜き、どの数学的原理（公式）をあてはめるかを瞬時に見抜くことができる「力」である。それでは、そのような力を身に付けるには、どのような学習を日頃から心掛けなければならないのだろうか。以下に何点か列挙してみたい。
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①公式を自分で導こう
公式は、具体的な事象の中から普遍的な原理を導き出し、それを道具として使いこなして問題を解いているのである。したがって、上位校である難関校における数学の問題を攻略するためには、数学的高度な思考力を求められるのである。この思考力とは、公式を導き出す際に適用する発想である。受験生の皆さんには、是非とも自力で公式を導き出して欲しいと思う。そのような作業の中で、様々な数学的発想が入試問題を解法するうえで生かされてくるのである。初めは時間がかかり、最終的な方向性も見出されないまま「袋小路」にさまようかも知れないが、そのような試行錯誤こそが真の学力を鍛えるうえでは不可欠な要素であることを忘れないで欲しい。
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②図形（平面図形・立体図形）などにおけるイメージを培おう
関数などの数量の問題と異なり、平面図形や立体図形の問題における解法のポイントは「イメージ作り」である。また、図形の問題にとって重要な手法は「補助線」を活用することである。ただし、どこに適正に補助線を引くかが正解を導く上での分かれ道である。また、図形の問題においては「定理・原理」をしっかりあてはめられなければならない。例えば、三平方の定理の活用のスキルを知らなければ、何時間もその問題と「にらめっこ」をしていても問題の解法へは辿り着けない。したがって、図形問題（幾何）においては、様々な定理をしっかり覚えることであり、その定理がどの様な条件のもとで成立し得るのかを理解し、入試問題にどのように当てはめられるのかを徹底して研究することが重要である。
以上、高度な数学の問題を攻略するための最低限の方法を列挙したが、大切なことは安易に解答・解説を見ずに、どんなに苦しくとも「自分の頭で考え抜くこと」が極めて重要である。
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2022年度「早稲田実業学校高等部の数学」の
攻略ポイント
特徴と時間配分
【大問１】独立小問問題＜9分＞。数の計算、比例と反比例の問題、平面図形(角度と面積)の集合問題。
【大問２】独立小問問題＜10分＞。連立方程式の応用問題、データの活用(箱ひげ図)に関する集合問題。
【大問３】関数(1次関数と2次関数)に関する問題＜11分＞。点の座標や直線の式を求める問題、相似の考え方を用いて面積比を求める問題。
【大問４】場合の数(色塗り)に関する問題＜14分＞。何カ所かに分けられた図を指定された色で塗り分ける場合の数を求める問題。
【大問５】空間図形（立方体）に関する問題＜16分＞。立方体をくり抜いた立体の体積を求める問題。
【大問１】独立小問問題
- 時間配分：9分
（１）数の計算に関する問題＜1分＞。
指数法則を用いて全体を2乗にする。
（２）比例・反比例に関する問題＜2分＞。
比例、反比例の式の意味するところをしっかり把握しよう。□＝ａ△の意味は「□は△に比例する」という意味であり、□及び△には、文字や式があてはまり反比例の関係においても同様である。
（３）平面図形(角度)に関する問題＜2分＞。
円周角は弧の長さに比例するのであるから、弧ＡＣ：弧ＡＤ＝１:（1＋7）＝１：８であるので、∠ＡＤＣ＝ｘとすると∠ＰＢＤ＝8ｘとなる。よって、△ＰＤＢにおいて3つの内角の和が180°になることより∠ＣＤＢが求められる。
（４）平面図形(面積)に関する問題＜4分＞。
半円の中心をＯとし、半円と接線の関係よりＯＴ⊥ＡＢである。ＯＴ＝ｘとするとｘは半円の半径であるからＯＰ＝ｘである。△ＯＴＢが直角三角形であるので三平方の定理をあてはめる。また、△ＡＢＣ∽△ＴＢＯの関係より△ＴＢＣの面積が求められる。
【大問２】独立小問問題
- 時間配分：10分
（１）連立方程式の応用問題＜5分＞。
Ａ、Ｂという2つのグループが同時にＰを出発してＱへ向かった。初めに、Ａはバスに乗りＱへ向かい途中のＲで下車し、その後徒歩でＱへ向かった。バスはＰへ戻り途中のＳでＢを乗車させＱへ向かったところ、ＡとＢは同時にＱに到着した。ＰＲ間＝ｘ、ＲＳ間＝ｙとして連立方程式を立てＰＱ間にかかった時間を求める問題。問題の本質を把握するために簡単な絵を描くことが重要である。
（２）データ活用(箱ひげ図)問題＜5分＞。
資料の整理における箱ひげ図の描き方、それぞれの表記内容の意味をしっかり理解し、自在に箱ひげ図が掛けるようにしておくこと。この分野(データ処理)は今後出題の頻度が高まると思われる。
【大問３】関数(1次関数と2次関数)に関する問題
- 時間配分：11分
（１）座標、直線の式を求める問題＜3分＞
Ｂはｙ＝ 1/4ｘ２にありｘ座標＝2であることよりＢの座標は容易に求められるであろう。よって、直線ＢＰの式が求められ、Ｄはｙ＝ 1/4ｘ２と直線ＢＰの交点であることよりＤのｘ座標が判明しＤの座標が判明する。また、Ｃはｙ＝ 1/4ｘ２とＰＡの式との交点であることより、Cの座標が求められＣＤの直線の式が求められる。
（２）面積比を求める問題＜3分＞。
直線の傾きが同じことよりＡＢ∥ＣＤとなることより、△ＰＡＢ∽△ＰＣＤとなる。そして、△ＰＡＢ：△ＰＣＤ＝１：９であるので面積比は△ＰＡＢ：△ＰＣＤ＝１２：９２＝1：81となることを利用する。
（３）座標を求める問題＜5分＞。
ｙ＝ 1/4ｘ２にQをとり、△ＱＡＣの面積が四角形ＡＢＣＤの 1/2になるときのQの座標を求める問題である。四角形ＡＢＣＤの面積を求めその 1/2の面積を初めに考える。等積変形などの平面図形の基本的原理をしっかり理解し問題にあてはめること。
【大問４】色塗分けにおける場合の数に関する問題
- 時間配分：14分
（１）6ヶ所を塗分ける場合の数を求める問題＜3分＞。
2つの同心円（以下、2つの同心円といいます）を3本の半径で合計6ヶ所に区分し、内側の3ヶ所を赤、黄、白の3色、外側の3ヶ所を黒、青、緑の3色の全てを使って塗分ける方法は何通りあるかを求める問題である。内側と外側のそれぞれ塗る場所が3ヶ所で、塗る色もそれぞれ3色あることより塗分ける場合の数が求められるが、ここで注意が必要である。本問は2つの同心円に関する問題であるので、120°回転させた場合に同じ塗り方になる場合が出てくる。240°回転させた場合も同様に考える。
（２）8ヶ所を塗分ける場合の数を求める問題＜5分＞。
2つの同心円を2本の直径で合計8ヶ所に区分し、内側4ヶ所を4色使って塗り、外側の4カ所を2色使用して塗分ける場合の数を求める問題であるが、（１）と異なり本問は90°、180°、270°回転させて同じ塗り方になる場合は同じ場合として考えること。
（３）8ヶ所を塗分ける場合の数を求める問題＜6分＞。
8ヶ所に区分された(２)の同心円において、内側4ヶ所を3色使用して塗分け、外側4ヶ所を3色で塗分ける場合の数は何通りあるかという問題である。本問は180°回転させると同じ塗分けの場合があることを認識すること。
【大問５】空間図形(立方体)に関する問題
- 時間配分：16分
（１）体積を求める問題＜4分＞。
立方体を3方向から反対側へとまっすぐくり抜いた場合の残った立体の体積を求める問題である。立方体は縦、横、高さそれぞれ1㎝ごとに線が引かれているので、上から1段目、2段目、3段目、4段目と順番にどの部分がくりぬかれるかを検証する。
（２）体積を求める問題＜5分＞。
くり抜く立体は、底面の1辺が √2cmの正方形で高さが4㎝の正四角柱である。この正四角柱をくり抜いて残った立体の体積を求める問題。注意を要するのは前と上の2方向からくりぬかれるので、交差した部分の体積を計算するかを考えること。
（３）体積を求める問題＜7分＞。
くり抜く立体は、底面の1辺が 2cmの正三角形で高さが4㎝の正三角柱である。この正三角柱をくり抜いて残った立体の体積を求める問題。2方向にくり抜いたときの重なる部分の体積をどの様にして求めるかが正解を求めるポイントになる。
攻略のポイント
分野的には、計算（因数分解、方程式、式の値）、関数（１次関数、２次関数）、確率、平面図形、立体図形といった分野について、しっかり練習をしておく必要がある。さらに、これらの分野の単純な演習スキルだけではなく、根本的な理解（原理的理解）に基づくより本質的な数学的発想をベースに問題へのアプローチができるような訓練が必要である。そのための一つの対策としては、「公式の原理的理解」という方法がある。つまり、自分で公式の原理を理解し、公式が導かれるまでの解法のプロセスをしっかり把握し、自身で公式を導き出せるようにすることである。また、今後出題される可能性が高いと思われる資料の整理（統計学の基礎）も手を抜くことなく、用語の定義の理解も含めて演習を重ねて欲しい。