1段目にいくつかの数字を並べて、隣り合う数の積を下の段に並べていく。そして数字が1個になるまでその作業を続ける。

(1)では、4つの数字を並べた場合の結果を求める。素直に計算してみればよい。

(2)では、1～6を並べる場合に、最終結果が最も大きくなるような並べ方を1つ答える。左から順にa,b,c,d,e,fとしたとき、最終的にa～fを何回かけることになるのかを考えればよい。

(3)では、3,5,4,2,1,6と並べた場合の最終結果が、5で最大何回割り切れるかを求める。(2)をふまえれば、直ちにわかる。

(4)は1,2,3,4,5,6と並べた場合の最終結果が、2で最大何回割り切れるかを求める。この問題も(2)をふまえればよい。

(5)では、1～8を並べる場合について考える。(2)と同じ考え方が適用できるが、1つずつ積を計算していくのは大変である。パスカルの三角形が背景にあるのだが、そこに気づくと、スマートに処理できる。

給水用の蛇口、排水用の蛇口を使って水を出し入れする問題。解法自体はそれほど難しくないが、条件が複雑で手間がかかる。

(1)では、Bが1分で給水する量を求める。A,Cを7分30秒使用してから、さらにA,B,Cを7分30秒使用すると空になることに注目すればよい。

(2)では、はじめにA,B,Cを開けた場合に、空になるまでの時間を求める。この問題は、すぐに答えにたどり着くことができる。

(3)では、はじめにA,C,Dを開けた場合に、空になるまでの時間を求める。まずはDが排水する割合を求める必要がある。

(4)はAが1分で給水する量の範囲を求める。装置②が通常通りに機能する場合と、故障して使えない場合の両方を分析してみればよい。

「一の位以外の位の数をすべて足すと、一の位の数になる整数」を「足し算の数」、

「一の位以外の位の数をすべてかけると、一の位の数になる整数」を「かけ算の数」と定義して、このような100以上の整数について考えていく。

(1)は「足し算の数」についての問題。

(ア)では、3けたの「足し算の数」がいくつあるかを求める。百の位が1の場合はいくつあるか、百の位が2の場合いいくつあるか、…と順に調べてみればよい。

(イ)では、小さい方から60番目の「足し算の数」を求める。調べてみるしかない。

(2)は「かけ算の数」についての問題。(1)と同様に調べる問題が2問出題されている。

(3)では、「足し算の数」でもあり「かけ算の数」でもある整数について考える。

(ア)では、一の位の数として考えられるものをすべて答える。0、1、素数はありえないことが分かる。その他の数について調べてみればよい。

(イ)では、条件を満たす整数がいくつあるかを求める。

(1)～(3)のいずれも、向きの異なる2つの三角柱の共通部分について考える問題。

(1)は、共通部分の体積を求める問題。共通部分が四角すいであることは明らか。

(2)では、共通部分の立体の面の数と体積を求める。共通部分が四面体であることは容易にわかるだろう。体積を求めるときには、断頭三角柱と捉えるとよい。

(3)について。

(ア)では、共通部分の面について答える。立体切断の問題と同じ要領で考えていけば、共通部分の形がわかる。

(イ)では、共通部分の体積を求める。主な解法としては、元の三角柱から、三角すいと断頭三角柱を取り除く方法、もしくは、三角すい台から三角すいを取り除く方法が考えられる。